無限に組み合わせはありますよ♪ただ整数に限ると話は別ですが…

a^b＝b^a　とすると、a^(1/a)＝b^(1/b)
ここで　f(x)＝x^(1/x)　たる関数を考え、これを対数微分法などを使ってグラフ描くと、
f(a)＝f(b)　を満たす異なる正の整数a、bの組み合わせは2と4しかないことが解かると思います。
数�Vの範囲でざっくり説明してみましたが、もっと簡単に説明出来るかもです。

追記：上のコメントにもあるように、実数の範囲なら無限に解があって、1＜a＜e(ネイピア数)＜bを満たす。(←正の範囲で、ですが。)

追記２：エクセルでf(x)＝x^(1/x)のグラフ描いてアップローダに貼り付けました。
http://uploadr.net/file/a951402690
縦軸f(x)の値が一致するような2つのxの組み合わせが　a^b＝b^a　を満たすa、bになります。

(X,Y)=(-2,-4)(-4,-2)はいかがでしょう。

なお、問題文にX≠Yが必要だと思います。

↓0ⁿ=0、n⁰=1　(n≠0)
　なので、不適です。

片方が0なら…

整数範囲に限るだけならば、そこらへんに落ちている問題だと思うのですが、
(正の)有理数範囲に問題を拡大したとすれば、
そんなには見ない問題になるとおもいます。
実はそのように拡張した問題はギリギリ綺麗に解くことができるのです。
(ギリギリというのはたとえば、片方の指数を2xとかにしたら、
不対称にはなりますが、いっきに難問になるのです。もちろん、正の有理数の範囲に拡大した場合であって、整数範囲にかぎるならば、その場合も単なる易問です)
ギリギリ解くことができるといいましたが、算数的な解答が存在しますので、
それをここに紹介したいとおもいます。

まずは簡単な補題を2つ用意したいとおもいます。
いずれも必要ならば各自解けばよいとおもいます。
いずれの証明も単なるルーチンワークになるはずです。

[補題A]
任意に、互いに素な正整数m,nと、正の有理数rを与える。
r^(m/n)∈Q であると仮定すれば、r=q^nを満たす正の有理数qが取れる。

[補題B]
任意に正整数A,B,k(A＞B)の組を与える。
このとき、A^k-B^k≧2^k-1 が成立する。

準備が整いました。次の命題が正しいことを証明します。

(命題)
x^y=y^xを満たす任意の正の有理数x,y(x＜y)に対して、
x=(1+1/m)^m, y=(1+1/m)^(m+1)を満たす正整数mが取れる。
逆に、そのように表される有理数x,yは解となっている。
(『逆に...』の部分は各自代入して確かめてください)

(証明)
x^y=y^x ・・�@を満たす正の有理数x,y(x＜y)の組を任意に取る。
r=y/xを満たす有理数r＞1を取る。s=r-1を満たす正の有理数sを取る。
�@の両辺を1/x乗することで、x^r=y を得る。
これの両辺をxで割ることで、x^s=r ・・�A を得る。
s=m/nを満たす互いに素な正整数m,nの組を取ると、
補題Aより、x=q^nを満たす正の有理数qが取れる。
よって、それらのことと、�Aより、q^m=r ・・�B を得る。
s=r-1だったから、r=s+1=(m+n)/n であるが、
gcd(m+n,n)=gcd(m,n)=1 であるから、�Bと既約分数表示の一意性から、
m+n=A^m, n=B^mを満たす正整数A,B(A＞B)の組が取れる。
(qを既約分数表示すると、q^mがどうなるかに留意してください)
よって、とくに、m=A^m-B^mがいえる。
ここで補題Bを使えば、m≧2^m-1 の成立がいえる。
これから、m=1であることがいえる。
m=1であるから、q=rであり、r=(n+1)/n=1+1/nであるので、
x=r^n=(1+1/n)^n, y=rx=r^(n+1)=(1+1/n)^(n+1) が成立している。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■

ここには
何て言うか
ものすごく数学的な人が多いなあ・・・・
でもそれって
その内容がよくわからない人にとっちゃあ
暗号（ていうよりすごくよく分からない謎）かもなあ・・・　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｂｙ↑の式を見て思ったコマー

ごめん。もうちょっと分かりやすく教えてくれない？
（きっと一〇〇回これを聞いても中学生の俺っちには分からないとおもう。
　　　　　　　習ったとしても複雑だ・・・・・　　　　　　　　　　　　）

あぁ。
なるほど。
意味は分かったが、ぱっと思いつかないｗ＾＾；

同じ学年でも、学力僕のほうが下だしなぁｗｗ

どっちも０しか・・ｗｗｗ

何らかの数を０乗すると、１になるんじゃなかった？　　０以外；
０の１乗は０。
＃　>>3でも指摘済みでしたね。

↑そういえばそうだったような気が…

暇だったのでもうちょっとエクセルで遊んでみました 　x^y＝y^x　の２つの変数のうち片方を固定して(ここではy＝5)考えてみましょう。
http://uploadr.net/file/2ede37bc09
f(x)＝5^x　と f(x)＝x^5　のグラフです、この２つのグラフの交点のx座標が
x^5＝5^x　を満たすxの値になります。だいたい1.765辺りが交点のx座標で、5^1.765≒1.765^5≒17.13。
5^1＝5、5^2＝25、1^5＝1、2^5＝32なので、2つのグラフが1＜x＜2の何処かでぶつかることは感覚的にも理解可能(？)ではなかろうかと。

近似的に求めてみましたが、正確な数値は陰関数・パラメタ的に表示する方法しか僕には解からないです。例えば、r＝x/y(≠1) として、x(r)＝r^{r/(r-1)}、y(r)＝r^{1/(r-1)}　などと媒介変数表示は可能です。ごみさん式についてもm＝整数じゃなく正の実数の範囲としても問題の条件自体は成り立ちます。

追記：…とりあえず、意味が解らないなら「解かりません。」の一言で良いので、何かしらの反応を頂けると嬉しいのですが… 　画像も一週間程経った時点で消えてしまいますし。

x^y = y^x を満たす y を x で表す関数を y = f(x) とすれば，
z = w e^w の逆関数として定義される Lambert の W 関数 W(z) を使うと，
x > 1 に対し，f(x) = - x W(-log(x)/x))/log(x) と書けます．
この関数は，(...((x^x)^x)...)^x を考えるときにも出てきました．

ただし、W(z) は z<0 に対して多価関数 (値が複数ある関数) ですので，
うまく枝 (場合分けして得た通常の関数) を選ぶ必要があります．
実際 x = e の前後で 2 つの枝を使い分けると，
目的の性質を持つ関数と y = x が両方出てきます．

簡単な有理式近似を求めてみました．x = 1 にごく近い所を除き，
f(x) = 1.08606 (x + 1.36768)/(x - 1.08577)
で関数のグラフを書く程度の近似が得られると思います．

皆さん、ありがとう、ございます。
なんとなく、解った様な気がします。