ちょいと質問です。

返事有難うごさいます 　でも現状色々考えてはいるもののさっぱりです

さっぱりわからん・・・

途中経過ー。でも色々考えてますが堂々巡り中

書くのがちょっと面倒だったので，すぐには解答できませんでした．

４段階に分けて証明しています．
(1), (2), (3) が補題，(4) が定理という感じです．

端折ったところを，細かく分けて，説明を加えました．

なお，
　　j(j+1)=k のとき，π[j, k]が平方数だと仮定すると，j*k が平方数で無いことから
　　π[j + 1, k - 1] は平方数になりえない
についてですが，

証明では，背理法を用いて，「π[j, k] が平方数だ」と仮定すると，
j(j+1) = k のときを含めたどんなときも，矛盾を生じるということを述べています．

つまり，平方数でないはずの j*k が平方数になるという矛盾が生じているのです．

暇なときにちょくちょく考えてましたが、自分の数学力では限界を感じたので
しばらく(nn)/さんとの遣り取りを体育座りしながら眺めて居るのです。
(-＿-)
(∩∩)
あ、僕の囁きは公開なしの方向でお願いします。

エルデシュさんがこの問題を含めた一般的な問題の解答をずっと昔に与えています。
そういう意味において、これは独創性に欠ける問題だとおもわれます。
nnさんの解答は私からでは見えないのであまりわかりませんが、
nnさんのは正しい匂いがします。
もしよければここに公開してくれませんか。興味があります。

ごみ さん

では，私の投稿 No.6 から１週間経った明日 17 日の 17 時までに，出題者である
スコーンBBQ味 さん から何もレスポンスがない場合には公開をすることにいたします．

ただ，出題者も何らかの解答をお持ちと思いますし，それにも興味津々ですので，
できれば，出題者にも解答例を出していただければ，と思います．

いま見直しましたら，No.6 は穴がありました．やり直しですね．

ちょっと自力でこの問題を解くのは無理ぽいと思い、>>8 の、ごみさんの
コメントを参考に、エルデシュの論文探してみました。
で、証明を見てみて、「自力では無理だった」と再確認

以下、まとめです。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
1974年に、Paul Erdos（ポール・エルデシュ）と J. L. Selfridge が、
「2つ以上の連続する正の整数の積は、2以上の冪乗数にはならない」…�@
ことを証明しているみたいです。

�@の事実は、1800年ちょっと頃には既に予想されていたみた難問で、
天才 Erdos も、長い間（少なくとも35年以上）この難問に取り組み、四苦八苦していたみたいです。
�@を証明したのは Erdos の仕事の中でも、相当大きな仕事の一つだったみたいです。
（つまり、150年以上未解決問題だったものを、完全解決したことになります。）

そして、�@の特別な場合である、
「2つ以上の連続する正の整数の積は、平方数にはならない」…�A
は、1939年に、O. Rigge(先着) と 若かりし Erdos(チョイ後)が（多分）独立に
証明したみたいです。（�Aは、まさにこの問題と全く同じですよね。）
�@はメンドクさくて読んでないのですが、�Aの証明については、一応読みました。
ただ、（証明自体は、短くて簡単な方だと思うのですが）ここに詳しく書くには長すぎで
相当面倒くさいので、証明全部を書きうつすようなことはしません。
Erdos の論文のリンク先と、Eodos の証明の「大雑把な」方針を紹介するだけにとどめます 。
「大雑把な」証明の方針の説明は、この問題の弱問題である、
「http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=12666」の正解発表時に、
どちらかの問題のコメントでやります 。（詳しくはやらないよ ）

�@や�Aを証明するには、Chebyshev の定理以外に、
SylvesterとSchurの定理 （�@では更に一般化）が必要みたいです。
（というか、SylvesterとSchurの定理は、Chebyshevの定理を一般化したものです。）
（実は、私は SylvesterとSchurの定理 を知らなくて、それを証明するところで
躓いてました。一見当たり前の事実に見えるのですが、証明するのが難しかった・・・ ）

ちなみに、日本人の Seimatsu Narumi という人も1917年に、202以下の連続する
整数について、平方数にならないことを証明していたみたいです。
（Erdos が�Aを証明するにあたって、かなり参考にしていたみたいですよ！ ）
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<参考リンク>
http://www.renyi.hu/~p_erdos/
↑Erdos の論文リストがあるページで、
�@1975-46 [P. Erdos, J. L. Selfridge]
The product of consecutive integers is never a power
�A1939-03 [P. Erdos] と 1939-04 [P. Erdos]
Note on products of consecutive integers, I & II
がこの問題についての、P.Erdos の主な仕事になります。
生涯に渡って関連論文を何度も書いているので、結構お気に入りの話題だったみたいです 。

ついでに、�Aの参考文献の中の、東北大学のジャーナル論文２つも紹介
2010/03/19公開だから、一般公開されたのって結構最近なんですね 。
http://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/jnltop_ja.php?cdjournal=tmj1911
Vol.38 [Richard OBLATH] Uber Produkte aufeinander folgender Zahlen (ドイツ語)
Vol.11 [SEIMATSU NARUMI] An Extension of a Theorem of Liouville's
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＜Erdos の�@の超大雑把な説明＞
n(n+1)...(n+k-1) = m² の時、n+i ＝ a_i x_i² , a_i : square-free と表して、
b = Π_0≦i≦k-1a_i を、下からは「最初のk個の平方因子を持たない数の積より多きい」
上からは「bを素因数分解した時、素因子p の指数には上限がある」
として挟み込んで評価をして、下限と上限が逆転する矛盾を導く。

＜Erdos の�@の証明方法の大雑把な方針紹介＞
分かりにくい部分は、Erdos の論文を直接読むか、
「http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=12666」のNo.6 が参考になります。
[方針]
�@ n(n+1)...(n+k-1) = m² (n＞1, k＞1) なる m が存在すると仮定する。
�A n+i = a_i x_i² (a_i は 素因子が全て k より小さく、平方因子を持たない数）
�B n ＞ k², i ≠ j ⇒ a_i ≠ a_j
�C b = Π_0≦j≦k-1 a_j は最初の k 個の平方因子を持たない数の積より大きい。
�D �Cより、b ≧ (4/3)^k k! (k≧24)
�E k/2l ＜ p ＜ k/(2l+1) の時、b の素因子p の指数部は、[k/p]+1 以下。
�F 他の素因子p の指数部は [k/p] 以下。
�G �E,�Fより、b ≦ Π_p＜k p^[k/p] { Π_k/2＜p＜k p Π_{k/4＜p＜k/3} p...}
�H �Gの{}部分は二項係数 C(k-1,[(k-1)/2]) を割りきれる。
�I �G,�Hより、b ≦ ( Π_p＜k p^[k/p] ) C(k-1,[(k-1)/2]) ≦ 2^k-2 Π_p≦k p^[k/p]
�J 一方、k! ≧ (2^k 3^k/2 / (6k²)) Π_3＜p≦k p^[k/p]
�K �D,�I,�Jより、 b を挟んだ不等式の計算を進めて (3/2)⁶ k¹² 3^5k ＞ 2^9k
�L �Kは k≧100 の時、2^k ＞ (3/2)⁶ k¹² なので成り立たない。よって、k＜100
�M k ≦ 202 については、Seimatsu Narumi が出来ない事を既に示している。
�N �L,�Mより、全てのk について、�@が成り立たないことが解る。

[Note]
�Bは n＞k² を示すのに [SylvesterとSchurの定理] を用いる
【 n＞k の時、n から始まる連続する k 個の正整数の積は、k よりも大きい素因子を持つ 】
＊ 証明はこの問題と同じかそれ以上長くなるので略。
＊ n = k+1 とすれば、[Chebyshev の定理] を得ます。
　【 n＜p≦2n なる素数p が存在する 】

�Jは [Legendre の公式] を用いる
【 k = c_s p^s + c_s-1 p^s-1 + ... + c₀ (0≦c_i≦p-1)　とする時、
　k! の素因子p の指数部r_p は、r_p = (k-Σ_ic_i)/(p-1) 】
[簡易証明]
r_p ＝ Σ_j=1..s c_j ( p^j-1 + ... + 1 ) ＝ Σ_j=1..s c_j ( p^j - j ) / ( p - 1 )
　　＝ {( k - c₀ ) - ( Σ_i c_i - c₀ )} / (p-1) ＝ ( k - Σ_i c_i) / (p-1)

今日（2012/02/25）行われた東大入試の理系数学第4問として出題されました。
はぁ…