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1 - i 進数
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n 桁の z = (1 - i) 進数 c[n-1]‥c[2]c[1]c[0] は，通常の数のように
c[n-1] z^(n-1) + ‥ + c[2] z^2 + c[1] z + c[0] を表すものとする．ここに，c[.] ∈ {0, 1, i} である．ただし，0 を除き， 同じ数を表現する z 進数は無数にある．たとえば， 1[10] = 1, 1i, 1ii, 1iii, 1iiii, ... 2[10] = i00, 10ii100, 10i01100, 10i1i100, ... である． (1) 最も桁数の少ないもの (標準形) だけを表示する． 0 = 0, 1 = 1, 2 = i00, 3 = i01, 4 = 10ii0000, 5 = iiii, 6 = 100i1100, 7 = 100i1101, 8 = 10i000000, 9 = 10iiiiii, 10 = 100ii100. ついでに，負の数を表すが，符号の必要がない． -1 = 10ii, -2 = 10i00, -3 = 10001, -4 = 10000, -5 = 110ii, -6 = 101100, -7 = i000001, -8 = i000000, -9 = 111101, -10 = 111100. (2) 純虚数も無数に表現される． -i = 10i, 10i1, 1i0i, 10i11, 1i0i1, ... i = i, 10ii1, 10i011, 10i1i1, 1i0ii1,... (3) おまけ付きで，標準形だけを表示する． 1 + i = i0, 2 + i = i1, 3 + i = ii0, 4 + i = ii1, 5 + i = 10iii10, 6 + i = 10iii11, 7 + i = 100i1010, 8 + i = 100i1011, 9 + i = 100i0110, 10 + i = 100i0111. 
(1 - i) 進数というのはないと思いますので，適当に解釈して，遊んでみました．
 
ゲーデル
なかなかいい感じの答えです
 ただ、用意していた解答とは少し異なる定義の仕方ですので、 別解とさせてもらいます。  No.1 と同じで，c[.] が取り得る値を変えることもできます．
たとえば，c[.] ∈ {0, 1, -1} でも，確認不足ですが，大丈夫と思います． 以下では，-1 を m で表します． (1) 最も桁数の少ないもの (標準形) だけを表示する． 0 = 0, 1 = 1, 2 = m100, 3 = m101, 4 = m0000, 5 = m0001, 6 = mm100, 7 = mm101, 8 = 1m000000, 9 = mmmm0m, 10 = mmmm00. 負の数は，1 ←→ m を全て入れ替えればよい． (2) 純虚数も同様である． -i = 1m, i = m1, 2i = m00, 3i = mm1, 4i = 1m0000, 5i = mmmm. (3) おまけ付きで，標準形だけを表示する． 1+i = m10, 2+i = m11, 3+i = m010, 4+i = m011, 5+i = m0m10, 6+i = m0m11, 7+i = mm010, 8+i = mm011, 9+i = mmmmm0, 10+i = mmmmm1. ------- なお，同じように c[.] ∈ {0, 1, 2} や c[.] ∈ {0, 1, 3} などとして も良さそうですが，表せない数があります (証明はしていません)． 
No.1 と同じ，一種の３進法の別法も示しました．こちらの方は，似たものを信
号処理などでたまに見ます．全く違った定義もありそうですが...
ゲーデル
拡張の仕方は色々考えられて面白いですね
もちろん正解（別解）です。 ちなみに、この問題の元ネタを少しお話しますと、 「- 1 + i 進法」が実は有名です(有名と言えるかどうかは微妙ですが  )。この「- 1 + i 進法」を使うと、 0 と 1 の２つの記号で、任意の複素整数を一意に表すことが可能です。 それに倣えば、1 ± i 進法でも任意の複素整数を 0 と 1 だけで表現できます。 これだけ聞くと、計算機で実装されてもおかしくなさそうな話ですが、 加算機だけみても、複雑なものになるので実用的ではありません。 
No.2 へのコメントについて
0 と 1 だけでは (負符号を加えても)，実数に限っても ±2, ±8, ±32, ... が表現できません． 純虚数の ±i, ±4i, ±11i, ... も有限桁ではできません．(2) の答がどうなっているか，興味深いところです． 「-1 + i 進法」ではもちろんできますので，「1 - i 進法」とは，同じようで，性質がかなり違います． ただし，「-1 + i 進法」の定義に合うように，『1 - i 進数』を読み替えるような定義は可能ですが， それでは「1 - i 進法」ではなく，「-1 + i 進法」に他ならないので，何にもなりません． 
ゲーデル
ご指摘の通り、例えば 2 は有限桁では表現できません。
 ただ、無限桁を許せば、任意の複素整数を表現できます 無限桁必要な本質的な原因は、 「-」の記号を使わずに、0と1のみで負の数を２進数で表現しようとした時に、 補数形式で表現しようとすると無限桁必要になるのと似ています。
長くなったので、３つに分けます。
[解答前の解説] 一般的な「2以上の自然数」以外の○進数というのは、そもそも「定義がない」かと 言うと、そんなことはなくて、キッチリ考えられています。 「マイナス２進法」等は、実はまだ常識的(?)な部類だったわけです。 （実際、-2進法は好ましい性質が色々知られています。） 変った記数法（例えば複素数など）では、 「基数をどうするか」「仮数をどうするか」等により色々バリエーションがあります。 「基数Kで対象となる数が表現可能かどうか」は、「対象となる任意の数が ΣAnKn で無限に近似できるかどうか」ということです。（これが定義です） ちなみに、バリエーションを考える上で一般に好まれる性質は、 ・表記に一意性がある。 ・対象となる数X（有限の数） を表現したとき、桁数が有限で表現できる。 ・加算や乗算の規則が単純である。 の３つです。上2つの条件は結構クリアできるものも多いのですが、 最後の条件もクリアするのは、変態的な基数だとなかなか難しいです。 詳しくは「記数法」などでwikipedia を参照なさるといいと思います。
[解答-前編]
0 と 1 で仮数を表現することを考えてみます。 そこで、任意の複素整数 a+bi を、1-i で割ることを考えてみます。 商を c+di(複素整数), 剰余を r (0 or 1)とすると、 a+bi = (c+di) * (1-i) + r で、これをc,d について解くと c = (a-b-r)/2, d = (a+b-r)/2 となります。 a,bの奇偶が一致するとき r=0, 一致しない時 r=1 とすれば、商 c+di は複素整数になるので、そのように剰余 r を定めることとします。 そうすると、例えば -1-3i をどう表現すればいいか、どう求めればいいかが解ります。 基本は【商が 0 になるまで、基数 1-i で割っていく】ことになります。 （基数が整数の時も、同様の手順で導き出せますよね！） まず、具体例を考えます。 ＜例＞ -1-3i を 1-i で表記することを考えます。 手順１． -1-3i は実部が奇数、虚部が奇数なので、剰余は r0 = 0. だからそのまま(1-i)で割って、 (-1-3i)/(1-i) = 1-2i 手順２． 1+i は実部が奇数、虚部が偶数なので、剰余は r1 = 1. 後で実部と虚部から1/2ずつ引いてもいいけど、先に -1 しておいた方が計算が楽で、 -2i/(1-i) = 1-i 手順３． 1-i は実部が奇数、虚部が奇数なので、剰余は r2 = 0. そのまま(1-i)で割って、 (1-i)/(1-i) = 1 手順４． 1 は実部が奇数、虚部が偶数なので、剰余は r3 = 1 商は 1-1 = 0 計算が終わったので、r3 r2 r1 r0 の順に並べて、結局、-1-3i は 1010 と表すことが できることがわかります。 実際、1 *(1-i)3 + 0 *(1-i)2 + 1 *(1-i)1 + 0 *(1-i)0 = -1-3i であり、ΣAnKn の形で表現できていることになります。 この方法で、任意の複素整数を、一意に表すことができることができます。
[解答-後編]
後は、同じように求まります。複素整数によっては、左端に1が無限に続く パターンがあります。その時は、...1111 を、[.1]と表すことにします。 (1) 0 : 0 1 : 1 2 : [.1]01100 3 : [.1]01101 4 : [.1]010000 5 : [.1]010001 6 : 100111100 7 : 100111101 8 : [.1]000000 9 : [.1]000001 10: 100101100 (2) -i: [.1] +i: [.1]011 (3) 1+i:[.1]0110 2+i:[.1]0111 ちなみに、基数を(1+i)とすると、a+bi を基数(1-i)で表したビットパターンは 基数(1+i)では a-bi を表すビットパターンと同じであり、共役の関係にあります。 >>2 のコメントの、基数(-1+i)が有名な理由は、D.E. Knuth が、有名な著書 The Art of Computer Programming, Vol.2 で紹介したからです。 フラクタル図形のDragon curve(ドラゴンカーブ）などの話題とも繋がってきます。 色々薀蓄たれようと思っていたんですけど、長くなるので、ここまでにします。 （実は、もともと用意していた解答の文章なくしちゃってて  、急遽解答を作り直したはいいけど、やる気なくしてたり  ） |
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