ファイナルアンサー？

多分こうだと思いますが…
このサイトの出題者様は曲者が多いので心配ですｗ

有名な問題ですね。

有名な問題ですね

ただ私はこの問題は昔から納得できない

ディーラーは「当たりの箱」を知っているとして
ディーラーが「当たりの箱」を当てさせないようにしたいと
そんな作為を持っていた場合も
この正解は成立するのでしょうか？

私がディーラーなら
Ａが当たりなら
挑戦者がＣを指差しすとすぐに
「残念でした」とＡを開けてしまう
Ｃが当たりなら
ヒントとしてＢの箱を開けて
Ａに変えてもいいですと挑戦者に言います

つまり挑戦者に絶対当てさせない事が可能になってしまう
これは変です

そのあたりの説明がどこかにありませんか？
誰か説明できる方いませんか？

↑ウィキペディアの解説では如何でしょう？
キーワードはご存知ですよね

＃　追記
>>3への返信
＞　既出だと思いましたが。

既出と知っていて出題することは　マナー違反だと思いましたが。

聞いたことあるんですが、この説明の仕方でよかったのかどうか自信がない…

ウィキペディアでは
モンティホールジレンマではなくモンティホール問題でしたか
検索結果になかったのでないかと思ってました

司会者の行動をきちんと定義しないと１つの正解にはならないのかな
司会者は当たりの箱を知っているのか？
司会者は必ず１つ箱を開ける、それは決まっているのか？開けないこともあるのか？

Cを選択します。最初３分の１で選択し、更にBが違うことによりAに変えると更に２分の１の選択になるので、Cのままがいいような気がします・・・

ディーラーの言動にどの様な制限が有るのか無いのかが
不明なので、Ｂには入っていないって事意外は不明で、
且つ、>>2のコメントから心理戦ではないようなので、
こういうことなのだろうと思います。

（不確定なモノは否定する回答をしておきながら、
心理戦ではないと決め付けている私の思考にはツッコまないでね ）

（あなたらなどちらを選ぶかなので、
どちらを選んでも（どんな理由でも）正解なのでは？とか思ったりして〜 ）

では、簡単に。

司会者は正解を知っていて、必ずはずれの箱を開く。

これが定義されていれば問題はないですね

正解を知らなかったら、正解の箱を開いてしまうことも…
必ず開くのでなければ、司会者の心理状態が確率に含まれてしまう
サイコロはプロなら操作できるから1が出る確率は99%！…とか。

だからこの問題は、機械と考えればOK。
自動的にはずれが開くのです。必ず。心理など入る余地もなく。
故障する確率は上記同様ナンセンス。


出題者様、不適切でしたら削除なさってください

う〜ん？
この方向から抜け出せません

（ディーラーの動きが固定ってことは、
最初っから、2択問題だったのと変わりない？）

ディーラーは「正解を知っている」として解答しています．
正解を知らずに，偶然不正解の B を開けたとすると，結果が違います．
なお，ベイズの定理を用いると，より正確な議論ができます．

また，Wiki の「モンティホール問題」の解説は，問題を複雑化していて，
あまり良いとは思えません．

有名問題だしなんのひねりもない
それどころかこの出題者はおそらくモンティホールの本質をわかっていないし
問題として成立していない

前提条件として
ディーラーは挑戦者がどこに賭けようが
必ずはずれを開けてくれるというような趣旨を明記すべき。

そうでなければ単なる読み合いです。

ということで、この問題文のままだとNo.1のマジカルポリスさんの答えに賛成です

「モンティ・ホール問題 」- Wikipedia
は確かにわかりにくい
もっとお勧めの解説ありませんかね

司会者は当たりの箱を知っている
はずれの箱を１つ開けると決まっている
→「選んだ箱を変更すべき」
これが模範解答でいいんですよね？

しかしどうだろう
参加者が１つの箱を選んだ時点で
司会者が
「残った箱の少なくとも１つははずれです」
と言ってもそれは論理的に当然の真実
それが箱を当てる確率には影響しないはずです

「機械的に１つのはずれの箱を見せる」とは
「残った箱の少なくとも１つははずれです」という発言と
実質的に変わらないのでは？

箱を当てる確率が変わってしまう状況は
それは「司会者側の失敗」だと私は思います

つまり司会者が失敗したときにだけ
選択した箱を変更すべき状況が生まれると思う
例えば司会者が「それでいいですか？変えてもいいですよ。」
と言ったときにそこで司会者がつまづいて転び
残った箱の１つをうっかり開けてしまう
それがハズレだったという場合です
これなら選んだ箱を変えるべき状況といえます

と私は考えているのですが
明解な説明がどこかにないですか？
教えてください

物語は残酷ですがこんなのがあります。
http://stardustcrown.com/reading/prisoners-puzzle.html

永久駆動さん
＞「機械的に１つのはずれの箱を見せる」とは
「残った箱の少なくとも１つははずれです」という発言と
実質的に変わらないのでは？

いえ変わるでしょう。それでは、Ａ、Ｂどちかがはずれか
わからない。はずれがどちらかを確定させないと。

ttp://realwave.blog70.fc2.com/blog-entry-63.html
ttp://d.hatena.ne.jp/pal-9999/20080326/p1

極端な実例を考えることで理解しやすくなることがあります。

000〜999の番号がついた1000個の箱のどれか１つにディーラーが賞金を入れる。
正解を知らない挑戦者はどれか1つを暫定的に選ぶ(例:123番)
正解を知っているディーラーは、挑戦者が選んだ箱以外ではずれの箱を998個空けなければならないというルールがあり、それに従い998個の箱を開けた。(例:123番と777番以外を全て空けた)
挑戦者は選択を変更することができる。

この例で、123番が当たりの確率は1/1000。777番が当たりの確率は999/1000となるため、挑戦者は選択を変更して777番を選ぶのが合理的であることは感覚的にも受け入れやすいのではないでしょうか？

蛇足かもしれませんが、この例で998個の箱を開ける人が正解を知っているディーラーではなく、正解を知らないアシスタントで、998個空けたらたまたま全てはずれだったケースを考えます。（アシスタントがうっかりつまづいて、アクシデントで998個の箱があいてしまってハズレと判明した場合でも同じ）

「998個空けたらたまたま全てはずれ」という非常に発生しにくい状況が発生したということは、挑戦者が最初に選択した123番が当たりだったため発生したのか、もう一つ残った777番が当たりだったのか、表面に現れている事実からでは同じくらいと推定されます。つまり、箱を開けた時点で123番と777番のそれぞれの正解の確率は1/2となる。というのも納得しやすいと思います。

>いえ変わるでしょう。それでは、Ａ、Ｂどちかがはずれか
>わからない。はずれがどちらかを確定させないと。
あーそういえばそうですね
だんだんわかってきた

ハズレの箱を開けるという行為で
その箱の持っていた確率（１/3）が
残りの箱に移動して（2/3）になるわけか

つまりハズレの箱を開けるとは
「選ばなかった2つの箱に変更すれば
　２つセット選択になります
　つまりどっちかが当たりでOKですよ」
というルール変更したのと本質的にいっしょになるんだね

解説ありがとう

ワタシが納得した説明♪
（司会者の意図云々の条件は追加したとして）

３つのドアをＸ・Ｙ・Ｚとします。

最初に選ぶドアはＸとしましょう。

１）「ドアを変更しない」を選んだ場合
・Ｘに賞金がある確率は３分の１
→ドアを変更せずに賞金を得る確率は３分の１

２）「ドアを変更する」を選んだ場合
・以下の三つのケースが考えられる

a）Ｘに賞金がある場合
→司会はＹＺどちらかを空けるが、
残りのどちらに変更してもハズレ

b）Ｙに賞金がある場合
→司会はＺを開けるのでＹを選んでアタリ

c）Ｚに賞金がある場合
→司会はＹを開けるのでＺを選んでアタリ

というわけで「ドアを変更する」と当たる確率が２倍に！

でも、実は、やっぱり、ちょっと、複雑な気持ち☆

最初の予想が当っていても、外れていても、
ディーラーが選択肢を1つ減らすのだから・・・
う〜ん？ >>12の考えに行ってしまう

>>20へ
１）「ドアを変更しない」を選んだ場合
「変更しない＝もう一度Ｘを選ぶ」とかんがえると、
ＹもしくはＺが空いている様態からＸを再選択するので、
ドアを変更せずに賞金を得る確率は２分の１とは考えれないだろうか？

やはりキモは、「あなたの引いていないもののうち外れの箱」が必ずあけられるということでしょう。

この状況ですと、「最初外れてるなら変えればあたる」「最初当たってるなら変えなければあたる」ということになります。
そして、「最初当たってる確率（１／３）より外れてる確率（２／３）が高い」。
よって「変えて当たる方の確率が高い」という論法でいいのではないかと。

小中学生にもわかる説明を考えました

３つの箱があり１つに１０キロの金塊がはいっています
２つは空っぽ
金塊の箱を選べば金塊をもらえます

君が１つの箱を選ぶと
司会のモンティさんはお決まりの
「ラッキーチェンジチャンス」と叫びます
モンティさんはもちろんどこに金塊があるか知っている
「ラッキーチェンジチャンス」は必ずあるんだ

「1回だけ選んだ箱を変えることができる
　選ばれなかった箱は２つでセットにしちゃうぞ」
選ばれなかった１つの箱を
モンティさんはひょいとつまみあげ
選ばれなかったもう１つの箱に重ねてしまう
「さあこれで選択を変更すれば当たるチャンスは２倍になる
　選ぶ箱を変えますか？変えませんか？」

もちろん君は選ぶ箱を変えたほうがいい
モンティさんの言うとおりだ
２つの箱が重なっているんだから
当たるチャンスは２倍になる

モンティさんが無造作にひょいとつまみあげたから
上に乗せられた箱が空っぽなのはバレバレですね
でも上下のどっちの箱に金塊が入っていても
当たりですからそれはどうでもいい事です
選択を変更すればチャンスが２倍になる
それだけが重要です

モンティさんが箱を重ねずに
選ばれなかった１つの箱を開いて
空っぽであると見せてから
「選んだ箱を変えますか？」
と聞いてきたらどうでしょう？
少し形が変わっただけで
その箱をひょいとつまみあげ
残りの箱の上に重ねたのと同じことです
頭のなかで２つの箱を重ねてみればいい
選ばれなかった残りの箱の上に
フタの開いた空っぽの箱を乗せたのと同じこと
上の箱が空っぽなのはバレバレですが
２つの箱が重なっているんだから
そこには２倍のチャンスがあります
選択を変更すべきです

別な言い方をすれば
最初に選んだ箱に金塊がある確率は１／３です
変更先に残りの可能性がすべてひとまとめになったので
当たる確率はそれ以外の２／３です

まず重要なこととして、挑戦者が最初に1つ選んだ事実が存在するということです。
この事実は、後に選びなおすチャンスが与えられた事実に影響を及ぼします。
つまり、最初の挑戦と次の挑戦は独立ではないのです

最初の挑戦でAを選んで次の挑戦で「変えて」Aを選ぶ…ことは成立しません。

よって、2回目の挑戦で正解するためには、1回目の挑戦が失敗である必要があります。
その確率は…3分の2。
そして、1回目の挑戦が失敗であれば、2回目は必ず正解。
その確率は…1。
つまり、2/3*1=2/3

選びなおす状況だけを考えると、2分の1です。
しかし、その前に、選びなおす状況に影響を及ぼす状況が存在しています


例えば、5個のうち3つが当たり。
この状態で、同じ手続きをとる。
この問題を考えると、わかりやすいと思います。

メガネ好きさま

レスをありがとうございます♪

１）「ドアを変更しない」を選んだ場合
↑これも実は場合分けをすることができます。

a）Ｘに賞金がある場合
司会はＹＺどちらかを開ける→ドアを変更せずアタリ

b）Ｙに賞金がある場合
司会はＺを開ける→ドアを変更せずハズレ

c）Ｚに賞金がある場合
司会はＹを開ける→ドアを変更せずハズレ

a・b・cそれぞれの起こる確率は各々３分の１です。
というわけで、「ドアを変更しない」で当たる確率は３分の１です。

※初めから選択肢２つの状態で挑戦するのなら当たる確率は２分の１です。

しかし、最初に３つの選択肢があったことを知っているのに加えて、
司会者は「必ず」「ハズレの」ドアを開けるという条件があるので、
純粋な二択とは異なる確率となるのだと考えられます。

かくいうワタシも、実際には、変更しない！　と言い張りそうですが☆

だって、司会者の人がイジワルしてるとしか思えませんもんねえ。
そういう心理戦ではないという点が重要なのではないでしょうか。

「司会者は正解を知っていて、必ずハズレの箱を開く」ことを回答者が知っている…
という、「心理戦が入る余地がない問題」なら…

理屈では分かるけど気持ち的に？納得できない…という皆様へ。（えっ、誰っ？）
確率でしょ。試行してみれば「納得できない感」が消えるでしょう。
（試行回数を多くすれば小学生でも気づくかなぁ。）
「試行によるスッキリ感」は「試行前の納得できない感の大きさ」に比例するかも？
（文明の利器によるシミュレーションで十分だと思います。）

私が納得した説明は、パラレルワールドを使ったものです。
要は、試行を思考するだけなんですけど（ぇ


例えば、パラレルワールドを６個発生させます。
そこには６人のあなたがいて、３つの箱から一つを選ぼうとしています。
当たりをＡ、ハズレをＢ，Ｃとします。

確率的に、Ａ，Ｂ，Ｃをそれぞれ２人のあなたが選びます。
Ａを選んだ２人の世界のうち、一つではＢが開かれ、もう一つではＣが開かれます。
Ｂを選んだ２人の世界では、必ずＣが開かれます。
Ｃを選んだ２人の世界では、必ずＢが開かれます。

６人のあなたは全員「自分が選んだ以外のハズレを開けられた」状態になっており、
そのままで当たっているのは最初にＡを選んだ二人、変えれば当たるのは残りの４人です。



例えばこれが、司会者が当たり外れに関係なくランダムに「あなたが選んだ箱以外の二箱のうちどちらかを開く」のなら話は変わります。

確率的に、Ａ，Ｂ，Ｃをそれぞれ２人のあなたが選ぶところまでは同じですが、
Ａを選んだ場合、一つの世界ではＢが開かれ、もう一つではＣが開かれる。
Ｂを選んだ場合、一つの世界ではＣが開かれ、もう一つではＡが開かれる。
Ｃを選んだ場合、一つの世界ではＡが開かれ、もう一つではＢが開かれる。

ここで、「自分の選んだ以外のハズレの箱」が開けられているのは、ＢまたはＣを選んでＡを開けられてしまった以外の４人です。
このとき、そのままで当たっているのは最初にＡを選んだ２人。
変えれば当たるのはＢまたはＣを選んでＡを開けられなかった２人。
となります。




パラレルワールドを発生させる、という説明が斬新で、妙に納得した覚えがあります(^^;

これだと思うんだけどな。

風化さん僕がリンクしたHPと同じですね。

　
僕の場合単純に

3つをアタリ、ハズレA、ハズレBと呼びます。

アタリを選んだ場合は
どちらかのハズレを開くので、どちらかのハズレが残る
　
ハズレAを選んだ場合は
ハズレBを開くので、アタリが残る。

ハズレBを選んだ場合は
ハズレAを開くので、アタリが残る

よって、残った箱を選んだほうが確率が高いです。
これなら分かりやすいと思います。

ほんとだ。
エンゼルさんのリンク先での説明も世界を増やす系ですね。

私が参考にしたのは、次のサイトです。

http://www2.hamajima.co.jp/~mathenet/wiki/index.php?%5B%5B%A4%A4%A4%AF%A4%E9%A4%E2%A4%E9%A4%A8%A4%EB%A1%A9%A1%A1%A1%DD%A1%A1%B3%CE%CE%A8%A4%F2%B2%F2%BC%E1%A4%B9%A4%EB%5D%5D

途中にヴァーチャルリアリティ発生装置（ＶＲＭ）とかいう言葉が出てきますｗ



＞3つをアタリ、ハズレA、ハズレBと呼びます。
＞
＞アタリを選んだ場合は
＞どちらかのハズレを開くので、どちらかのハズレが残る
＞　
＞ハズレAを選んだ場合は
＞ハズレBを開くので、アタリが残る。
＞
＞ハズレBを選んだ場合は
＞ハズレAを開くので、アタリが残る

理屈がある程度分かっている方ならこれで充分理解できると思いますが、
あまり簡潔にするとよく分かっていない方は逆に混乱するんじゃないでしょうか。


例えば、司会者が「最初に選ばれた以外のハズレの箱」を選んだのでなく、開かれた箱がたまたま「最初に選ばれた以外のハズレの箱」だっただけというような場合に、
「3つをアタリ、ハズレA、ハズレBと呼びます。

アタリを選んだ場合は
どちらかのハズレが開かれたので、どちらかのハズレが残っている
　
ハズレAを選んだ場合は
ハズレBが開かれたので、アタリが残っている。

ハズレBを選んだ場合は
ハズレAが開かれたので、アタリが残っている。」

よって残った箱を選んだ方が･･･となると誤りでしょう。
この場合とモンティホール問題の場合の違いを盛り込んでおかないと、
説明としてはちょっと難しいのかなあと思ったりもします。

しばらくこのスレッドを見ていませんでしたら，活発な議論が行われていたのですね．
少し，数理情報学的にこの問題を見てみることにします．持っている本（大学の教科書）に書かれている内容の応用問題です．

挑戦者が C を選んだ時点では，C が当りである確率 P(C) は 1/3 です．より正確には「主観確率」と呼ぶべきで，当りか外れかは，その時点ではすでに決まっていますので，確率は１か０に決まっています．挑戦者にとって，それを決定するには知識が足りないので仮に 1/3 とおいているのです．

ここで，ディーラが B を開け，B が外れ (以後 notB で表します) であるという情報を付加しました．この情報 notB の追加による主観確率の変化 P(C) → P(C | notB) を見ます．縦棒 | の右側は条件を表していて，notB が正しいという条件の下での主観確率を表します．

(1) ディーラが答を知っていて，挑戦者もそのことを知っているとき

ディーラは notB であることを知っていますから，C が当りか外れ notC かに関係なく，B が外れであることを示せます．つまり，冷静に「自分が B 以外を選んだら B を開けようとディーラは決めていた」と考えれば，条件付き主観確率は P(notB | C) = P(notB | notC) = 1 です．ここで「主観」というのは挑戦者の主観です．挑戦者は C なのか notC なのか分かりませんので，両方の場合を考えているのです．

ベイズの定理によれば，
　　 P(C | notB) = P(C) P(notB | C) / ( P(C) P(notB | C) + P(notC) P(notB | notC) )
であり， P(notB | C) = P(notB | notC)， P(C) + P(notC) = 1 より，P(C | notB) = P(C) = 1/3 が得られ，変化しません．

よって，P(A | notB) = P(notC | notB) = 1 - P(C | notB) = 2/3 なので，A に変えた方が有利だろうと挑戦者は考えるでしょう．

(2) ディーラは答を知らず，挑戦者もそのことを知っているとき

ディーラは notB を知らないで (あるいはうっかり転んで)，偶然に notB を示しました．もしかしたら当りの箱を開けたかもしれないので，C が当たりか外れかによって，条件付き主観確率は異なり， P(notB | C) = 1, P(notB | notC) = 1/2 です．

これをベイズの定理に代入すれば，
　　 P(C | notB) = 1/3・1 ／ (1/3・1 + 2/3・1/2) = 1/2
であり，当りは C であるか A であるかの半々になりました．つまり，選択を変えても，変えなくても同じということになります．

標準的な解答は以上ですが，注意深い方はお気づきと思いますが，これは主観を含んでいますから，この通りにいくとは限りません．実は，挑戦者がどこを見るか，どう考えるかによるのです．

(3) ディーラが答を知っていて，挑戦者もそのことを知っているとき（その２）

挑戦者はディーラが A, B どちらの箱を開けようか一瞬迷ったことを見逃しませんでした．正解を知っていて迷うのは C が当りのときに限り， A が当り（したがって notC）なら迷うことはないので P(迷う | notC) ≒ 0 とみることができます．C が当りのときにも常に迷う訳ではないので，適当に P(迷う | C) = 0.2 とし，notC のときでも勘違いがあり得るので，P(迷う | notC) = 0.05 と見積もることにします．

これをベイズの定理に代入すれば，
　　 P(C | 迷う) = 1/3・1/5 ／ (1/3・1/5 + 2/3・1/20) = 2/3
が得られ，選択を変える気がなくなりました．

(4) ディーラが答を知っていて，挑戦者もそのことを知っているとき（その３）

こういう場面にありがちなように，ディーラは A, B どちらの箱を開けようか迷った演出を行いました．これを本当に迷っていると考え，(3) のように P(迷う | C) ≫ P(迷う | notC) とすることができますが，わざと迷った振りをしていると見て， P(迷った振り | C) ≦ P(迷った振り | notC) とすることもでき，結果は全く逆になります．もちろん，全く迷わずに選んでも「迷わなかった」のか「ひとつしか選択肢がない振りをした」のかで，最終選択が異なります．

たとえば，迷いがインチキ臭いと判断し，P(迷った振り | C) = 1/3, P(迷った振り | notC) = 1/2 とすれば，
　　 P(C | 迷った振り) = 1/3・1/3 ／ (1/3・1/3 + 2/3・1/2) = 1/4
で，選択を変える気満々になります．

他にも，様々な着目点や考え方があるでしょうし，挑戦者が持っている知識・経験や性格・感情・第六感に対する自信などにより，条件付き確率の見積り値が違います．加えて，「ディーラは答を知っているが，挑戦者はそのことに確信を持てないとき」など，いろいろな状況も考えられますので，目的の主観確率をどう評価するかは複雑です．

正確かつ詳細に規定されないと，この問題が多くの議論を生んでしまうことも，お分かりいただけましたでしょうか．

>>nn)/ さん
この問題はもともと、海外の視聴者参加型バラエティ（？）か何かの演出から始まっているらしいですね。

プロデューサーはおそらく、視聴者に１／２で景品を持って帰ってもらおうとしているけれども、番組演出的に３択から一つ選ばせた後、選ばなかったハズレを空けて、あらためて２択を考えさせるというような企画にしたのではないでしょうか。
で、実は１／２ではなくて２／３で景品をお持ち帰りされるという･･･(^^;


と書いていて、気付きました。
これって出題のされ方で主観確率の問題になるときとそうでないときがありません？

回答者が箱を選ぶ当事者であるような出題であれば主観確率の話になりますが、
箱を選ぶ人はＡさんとして、回答者はこの当たりの箱を選ぶゲームのルールや全容を知っている第三者の立場から、Ａさんが自分で気付けるかどうかにかかわらず、実際の確率を計算するような出題なら主観確率は関係ないのでは。

この問題はあなたならどちらを選ぶか？　となっていますので、前者ですね。

詳しくないのですが、モンティホールの原題は後者だったのでしょうかね？

モンティホールの原題も前者に近いと思います．ただ，「最初から外れのドアが１つ開いている場合と後から開ける場合とでは，回答者の最適行動に違いが出る」というパラドックス (?) に議論の興味中心があるように思います．

第３者のひとりであるバラエティ・プロデゥーサの立場からは，風花さんのおっしゃるように，２／３の確率で景品お持ち帰りが発生すると考えて，番組制作予算を作れば良さそうです．

ただし，それも主観確率であり，「そう見積もるのが妥当であろう」という値です．実際に番組を運用していて，回答者が思った行動をとらなければ，その見積もりを修正しなければならない場合もあるでしょう．つまり，追加情報によって値が変わることから「主観確率」と考えるべきです．

また，外れのドアを開けたとき，回答者がいつも選択を変更しては，番組的に面白くないので，いろいろな演出を行って回答者を惑わすはずですが，それに対する回答者反応の出現率も（演出条件付き）主観確率として見積もっておく（かつ必要に応じて修正する）ものでしょう．

他の第３者である番組の視聴者についても，ある人は「２／３でお持ち帰り発生」と思っているでしょうし，他の人は「１／２でお持ち帰り発生」と考えているでしょう．つまり，人によって値が異なるという主観確率の性質を持っています．番組を見ているうちにそれらの値は修正されていきますが，一回の番組視聴で大きく値を変更する人もいれば，少ししか修正しない人もいるでしょう．また，どの回を見たかによって，値もバラバラでしょう．

命題（主張でも言明でも仮説と言ってもいいのですが）が真であることへの確信度を確率法則に従うように扱ったのが主観確率です．現代的な確率の定義からは「偶然」とか「ランダム」などという概念が消えていますから，そもそも，「確率」と「主観確率」は，区別する必要もないというか．比較して区別する対象でないというところです．