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難問!? 数学オリンピック問題
難易度:★★★★  
?たけ 2009/10/08 12:35
正の整数の組 (a,b,c) で,a,b,cの最小公倍数が720となるものはいくつあるか。

ただし,3つの数の並ぶ順番が異なる組は区別して考える。


工夫して計算せよ。

877×879−121×123




これらの問題は、2008年の日本ジュニア数学オリンピックの問題です。

Answer720=2^4×3^2×5

a,b,cは2,3,5のいずれかまたはすべてを因数にもち, a,b,cのいずれかの因数の中に2^4,3^2,5を含む。
また,それ以外の因数はみな2^4,3^2,5の次数を超えない。
よって,a,b,cの選び方は,2,3,5の指数の組合せを求めればよい。
2の累乗の因数の選び方は, 指数を0〜4から3つ選び,このうち4を少なくとも1つ含む場合だから,
     5^3−4^3=61(通り)
3の累乗の因数の選び方は, 同様に,
     3^3−2^3=19(通り)
5の累乗の因数の選び方は,
     2^3−1=7(通り)
よって,a,b,cの組の総数は,

     61×19×7=8113(通り)

121=x,123=yとおくと,
 877×879−121×123=(1000−y) (1000−x)−xy
=1000000−1000 ( x+y )
=1000000−1000×244=756000
■
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