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最大値の証明
ＪＯＫＥＲ
直径１０ｃｍなら可能かも 
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ヒント知らないよ
このクイズの参加者（9人）
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1つでも他との距離が15cm以上のなら、
出来そうなんだけど、 全ての弾痕に対して、 隣り合う弾痕同士の距離を15cm以上に 出来ないってこと？ あと、均等に15cm以上でも出来そうな気がするんですが・・・ 囁きがないので、どうしましょ？
No.5はご指摘の通り間違ってるので無視して頂きまして、
15*15で4個付けれる ○ ○ ○ ○ 30*30で9個付けれる ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 60*60で25個付けれる ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ここから、縦横に10ずつのびても、 あと25個は無理なので、無理 こんなんどうかな？
↑正三角形を形成しながら敷き詰める場合ではどうでしょうか？
◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ ◯ 図は厳密な正三角形じゃないので、頭の中で補正していただくとして… 横の長さは15*4+7.5=67.5です。 正三角形を五段積んだ（つまり6列ならべた）場合、 7.5√3cm（正三角形の高さ）×5≒65cm ですので、横5個×6列=30個は入りそうですよ。
弾痕を中心に有する直径15cm(半径7.5cm)の円を考える．どの異なる2つの弾痕から弾痕への距離も15cm以上であるならば，少なくとも，各弾痕に対応する総数50個の円は互いに重なってはならない．弾痕が板の端にあっても良いことを考慮すると，実質的に板の面積は縦横に15cmずつ長く見て，その面積は7225cm2である．一方，50個の円の総面積は8831cm2を超えるので，明らかに重なる円がある．重なればその中心間は15cm未満となり，条件に反する．
∴不可能 で，どうでしょうか．
↑やはりその考えで50個は不可能と判定できますよね
 No.6で41個といったのは、7225/(7.5*7.5*π)の計算結果です。 気になるのは最大の弾痕の個数なのですが、40個入るかと言われても現状では "分からない" となりますよね 
囁きがない状態ですが、ここで核心に迫ることを書いても大丈夫なんでしょうか？
ちなみに50個というのは絶妙な個数で、15cmというのは不可能になってしまう長さのなかで最小の整数値ですね。
ボムボムさんのNo8の考え方を応用してみると７０＾２の板の角から一辺が１５cmの三角形が角から１５×１５sin６０の距離までに正三角形が８こ入るので
７０/（１５×sin60）＝５．３ なので５列できる よって ５×８＝４０こ入る よって不可能
↑正三角形の個数ではなく頂点の個数の方が重要では？
 僕の考え方はレンレンさんの考え方と全く同じです。 レンレンさんの方法で少なくとも50個は無理だとはわかります。 …が、上にも書いていますように最大個数が不明なんですね  （←別に問題では問われていませんが最大値の証明というタイトルが気になる…
えーと。
レンレンさんの考え方を参考に数式でまとめてみました。 銃弾が当たった場所を中心とした半径7.5の円を考える。どの円も重ならず、また接しないようにすれば、全ての銃弾間の距離は15未満である。 円が存在しうる場所の総面積（正方形の面積に加え、正方形の辺上を中心とした際の円の軌跡）は7000+56.25π。 この面積内に、半径7.5の円を接したり重なったりしないように配置する。 7000+56.25π＞56.25πx 40.………＞x xが取りうる最大の整数は40。 板の面積ですが、角はΓではなくても良いかと。
計算上、不可能であることは明らかのようですが…
これは「鳩の巣原理」という証明法によってほとんど計算せずに解決することができます。以下その考え方を使った解き方です。 正方形の板を一辺10センチの49個の正方形に分割する。そうすると、弾丸が50個に対し正方形の数は49個なので、弾丸が2個以上撃ち込まれる正方形が少なくても1つ存在する。その正方形内で最も離れた地点に弾丸が撃ち込まれたとしても、その距離は正方形の対角線であるので、 10√2センチ=14.142…<15センチ となり、銃痕から銃痕の距離を15センチ以上にすることは不可能である。
↑なるほど、鳩の巣原理ですか
 問題を作った側としては、その解答を要求しているんでしょうね、きっと ちなみに14cmでも50個は不可能です  |
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