その三を囁きます。
さらさら解けましたので、どこかで見たことがあるのかもしれません

あっているのかどうやら

（その三）はわかりません。

囁きの問題を参照のこと

数値は異なりますが 煙詰めさんの解説が見事です。

これでいいのかなぁ。。。

数学は得意じゃない

＞いはらさん
さらっと正解さすがです
☆四つはいきすぎですかね

＞レンレンさん
その通りですが、もう少したくさんに分けてみるとどうなるでしょうか？

＞PDJさん
ご指摘の通りですが、「数学の問題、正の数」…といえば分かって頂けるでしょうか？

＞のりさん、ひでとさん、lbjさん（惜しいメダルの方々へ）
みなさま、おそらく初めましてだったと思います
ボムボムといいます、これからもよろしくお願いします
その二の正解にたどり着くには、やはり同じく「正の数」ですので…もう少し広く考えてください

S=8のときの例は妙にミスリードな感じになりましたが、ヒントはこんなところです
簡単にしてS=5を考えて頂けると…実はこの場合、レンレンさんの考え方は正解です

とりあえず２を

数学的な証明じゃないです、すいません

Ｓの最初と最後以外はＱでお願いします

すみません．2つの和と思い込んでいました．問題をちゃんと読まないといけませんね それなら…

それにしても(2)の答えが綺麗でないので(出題するなら綺麗な数だと思うし)，間違ってるかもしれません

囁きは読みにくいだろうので，コピーの上，コメント欄に記入して，プレビューの欄でお読み下さい(間違って投稿ボタンを押さないように)

囁きは編集不可のようなので補足です

えーと　直感的に答えます。
（但し私の直感は殆ど当たりませんが・・・）

むずい

いくつかレスを頂きましたので、ここで出題者から少しコメントしますと…

まずこの問題のタイトルが「既出風味？」となっているのには実はワケがありまして…
PDJさんにご指摘を頂きましたように、実は「数が苦（タイルコさん出題）」（http://quiz-tairiku.com/quiz/q10.html#Q47）という問題とほとんど同じ内容をわざと使用して問題を作っています。

問題
和が８になる数同士の積について考える。例えば（３，５）では、３×５で１５という値が得られる。ところが（４，２，２）は４×２×２で１６という値になり、１５よりも大きい。このように考えて、積が最大となる組み合わせを考えて欲しい。
（１）和が１８になる数同士で、最大になる積はいくつか。
答え：六つに分解して「３の６乗＝７２９」。
（２）略

（これがその問題の本文であり、こちらの例もわざと同じ8を使用しています）

ここで上の問題文をよーく読んでください。
まず「数が苦」では負の数を除外することが書かれていません。
ですので、実際は負の数を使うともっと大きくできるはずです。
しかしそれを認めると、答えはいつでも「無限大」となってしまうので、今回僕が出題した問題では制限する文章を追加しています。

と・こ・ろ・が…まだまだ制限されていない数が存在しますよね
僕は「正の数」としか言ってませんので、例に惑わされないように気をつけてください。
その二の惜しいメダルとなる答えは「3*3*3*3*3*3*3*3*3=19683」ですが、これよりももう少し900ほど大きくできます。

<追記 5/2 18:40>
このコメント及び、皆様への返信コメント中の「もう少し大きく」などを意味する部分を「900ほど大きく」へ訂正しました。

出題者様は，惜しいメダルの方に，もう少し大きく出来ると書いてありますが，比べてみると結構な差です．少しの違いでこれほどまでに差が出るのですね．

それはそうと，出題者様がほぼ引用された問題を見ても，「負数を除く」以外，この問題と同じ条件ですよ(つまり，「数が苦」の問題でも出題者様の言う「まだまだ制限されていない数」の使用も可ということです)．それであの考え方はまずいのでは？と思いますが(例えば本問(2)の27のように，「3が出来るだけ多ければよい」という考えを採用すると正解でないです)．まぁ，あくまで正解の候補にはなるので，偶然の一致とまでは言いませんが，偶然，それで解ける問題であった，というだけのことですよね．というわけで，タイルコ様の出題された問題の解法は数学的には正しくないです．

↓返信ありがとうございます．
1兆円が5%増の1兆500億円になったとして，5%ははたかが1/20で小さいですが，やはり500億円は大きいというのが私の感覚です．逆に1円が100%増えて2円となったところで，100%というのは割合的には大きいのですが，差はたかが1円で，小さいです(と思います)．この辺，客観的基準がないので難しいですが．とりわけ金額などは，その人の収入，生活水準など，主観的判断の差がかなり大きくなるところですね．

＞レンレンさん

まず「もう少し大きく」のところは主観に依り不適切と思われますので、他の皆様へのコメント部分を「900ほど大きく」というように訂正しました
確かに指数部分も絡むので、差は大きくなっても不思議ではなさそうですが

「数が苦」の問題に関してですが、「算数なのか数学なのか？」そして出題者の意図なども大切ではないでしょうか？
「数」を「かず」と読んでみると、なんだか算数で考えていけそうな気もして、そうするとどこまで厳密に考えたらいいのか？出題者の意図を読まないと行けないと思います。
僕が思うのは、例の挙げ方からすると、おそらく "3を多くするように分割" でもいいような気もします。
この解答で出題者様の意図は十分に汲めていると思いますので。
ただ、これが高校数学や大学受験などの問題集に載るとなると話は別です。
今回は後者を意図しましたので、問題文中に「正の数（せいのすう）」という制限を加えました。
それでも小学校で「◯数・◯数」は習うし、難しいところです

＞皆様へ
今回の問題は「数学の問題」と言い切っております。
そのためその三では高校数学の知識を要するので知識マークをつけました。
ですので、その一、その二の解答を頂けるだけでも僕は満足ですので、どうぞお気軽にお考えください

ただ，「数が苦」の方も難易度が4で，高目なんですね．これは相対的難易度だと思うので，ほかの問題と比較して，「難易度4」はいかほどか，を判断しなければなりませんが．定義の上に成り立つ学問(パズルでも同じ)でもあるので，その辺はきっちり書いて欲しい，とは思いますね．見る人によって答えが変わってきますので．私は高校生ですので，判断が難しいですね．

ところで，小学生でも「○数・○数」はならいますが，「正の数」は習わないんですね(中学で「正と負」を習うので，小学生は「正」を知らないかも知れません．とすれば「数が苦」の問題は小学生向けかとも思われます)


「数が苦」の問題では「負数を除く」の表記がありません．すると答えは全て無限大になるのですが，「それでは問題にならない，恐らく負の数は除くべきだろう」と考えて解いていく人は多いと思います。しかし出題ジャンルが「パズル」ということであれば，「ザンネ〜ン，こうすれば無限大になるよ」というのが出題の解答かも知れません．要は出題者がどんな問題を出すのかを知る必要があり，過去の出題の傾向から「純粋な算数・数学」を好むのか「引っ掛け問題」を好むのかを見極めなければなりません．その辺，かなり難しいことだと思います．

↓そうですね．私も全ての場合を考えるべきではある，と考えます．ただ「数が苦」で今回のような解答をすると出題者の用意していた模範解答を変えてしまいかねないことになってしまいます．まさか，例えば27で用意していた解答が3⁹だったのに，それ以上の数を突きつけられて，「これは正しくない」とはいえないでしょうから．そうすれば，正しい改は3⁹＋900前後の数に変更せざるを得なくなります．ただ，どこまでを求めればよいのか，というのを限定するにはやはりそれなりの用語(「正の数」など)が必要であるのも事実で，これらは小学校では教えていません．高校1年では，2次方程式で「解なし」と言いますが，高校2年では「実数解なし」と言い換えます(虚数「解」をもつので)．ですから，(きっちり厳密に指示がない場合は)小学生なりの模範解答，中学生なりの模範解答…とか，回答者に合わせた模範解答というのがあるのでは．

※或る参考書には「例に惑わされるな，与えられた図だけで考えるな」との忠告があります．

NO9は明らかに違います そこは午前３時の悪戯ということで

高校数学の技量は何一つ残っていないので（２０代前半なのに）
直観しかないですがお暇ならお付き合いしてもらえるとうれしいです
これも違うと思いますがno9よりはマシそうです

＞レンレンさん
長くなりそうなので返信ではなく、コメントさせていただきます。

＞模範解答を変えてしまいかねない
そこは出題者の裁量だと思います。
文章を通してのやり取りなので、間違って伝わることもあると思います。
自分の意図していたものとは違う答えでも、論理的に正しいと思われる場合は、
（１）自分の問題不備として、修正などを行い軌道修正する
（２）新たな解答を模範解答とする
などをすればいいのでは？
そのための修正機能ですし、感服メダルもあるのですから
いずれにしても、出題者が他の解答者の皆様へハッキリと通知することは必要だと思います。
僕なら今回用意している解答を返信していたか、あるいは「◯数もＯＫ？」みたいにまず質問していただろうと思います。
だた出題者が算数しか習っていないのであれば、数学の解答を返信しても伝わらないでしょうね
そういう場合はやはり今までの傾向などを知る必要があるやもしれません…
相対しているわけではないので、そこに難しさが生じているのでしょう

今回の出題は「既出風味？」とタイトルにつけましたように、まず「数が苦」を見てからこの問題を思いついたのです。
「数が苦」のときには誰も疑問を持たなかったので、そのまま終了したのかもしれません。
しかし疑問を持つ人もいるかもしれない（僕やレンレンさんのように）。
そのためわざわざ例を同じにし「既出風味」というタイトルをつけて出題しました。

「数が苦」の問題の解答を見ると，ボムボムさんの(1)9　(2)27の出題は「同じ3の倍数でありながら，同じ考えでは解けない数」を選んでいるあたりうまいですね

27を糸口にするという本末転倒な解答をする人がここに一人

ヒント第二弾…というかコメントというか…

「先入観を取り払ってください」

です。
小学生でも習うであろう◯数・◯数あたりがヒントです。
ちなみにS=5では2×3=6は最大には少し届きませんが最大値は7より小さいのです

２７を

これだとダメですね

こんな感じ？

自信が無い〜

これもだめかも

３はこれ使いますかね

お付き合いありがとうございました

(3)の数値を推定してみました。

ここでまたもや出題者からコメントです

実はこの問題出題のきっかけに、もう一つのある問題がありました。
それは夢現さん出題の「ちりも積もれば・・・１からできる数字」（http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=9747）という問題でした。

この問題に対して「数が苦」と本質は同じだと思います、というコメントを私はしました。
しかし実際は今回の問題のように、「数が苦」をより数学的に考えていくと、どうやら違う問題となりそうなのです。

というわけで、そろそろ伏せ字にしている◯数や◯数は、もう公開していいでしょう
つまり今回の問題の設定上「小数や分数」にまで分けることも考えてもいいだろう、ということです。
夢現さんの問題は「数が苦」において分割した数を自然数限定とした場合に、同じことを問うている問題と言えます。
しかし出題者であるタイルコさんの意図と発表後の正解を見ると、同じことを意図した問題であったと思われます。そういう意味で私は「本質的に」という言葉を選びました。

ーーー
さて、今回の問題に戻りまして…
実際にS=5の場合、3*2=6ですが、2.9*2.1=6.09です。
少数・分数にまで広げると大きくできる可能性は十分に広がります。
では仮に二つに分割する場合の最大値は一体どのような分割のしかたか？
ここで知識マークが絡んできます。実はNo.2のレンレンさんへのコメント◯◯・◯◯△△の□□というところがそれに当たります。（◯や△は同じ文字とは限りませんが、何となくこう書くとニュアンスというか…が伝わるかなと思いまして）
お考え中の方は、二つに分割する場合はどういう分割が積最大かを考えてみてください。
さらにその先に複数分割の場合の積最大となる分割の方法が見えてくると思います

少しずつ解答発表というかヒントというか、を進めていこうと思います。
まだまだ解答は募集しておりますので、気付いたことなどございましたら、どしどしコメント下さい

No.31のS=5の場合を考えてみましょう。
仮に二つに分ける場合、xとyに分けたとしましょう。
（x,yは正の数です）
すると和はS=5で一定なのでx+y=5です。この条件の下で二つの積xyの最大値を探すという、数学の問題になります。
ここで「正の数、x+y、xy」あたりを聞くと一つの不等式が思い出されます
そう "相加・相乗平均の関係" というやつです。
この関係を使うと
x+y≧2√(xy)　（等号成立はx=yの場合に限る）
という不等式が得られます。
左辺はx+y=S=5で一定値なので、
2√(xy)≦5
xy>0であることを考慮すれば
xy≦(5/2)^2=25/4
という不等式が得られます。
したがいまして、積xyはx=yの場合に等号成立で、そのときに最大値25/4となります。
つまりS=5で二つに分ける場合、半分ずつ5/2二つに分けると積が最大となって、そのとき25/4=6.25が最大となります。

同様に一般のSについて二つに分ける場合、積最大値は半分ずつに分けるときであり、(S/2)^2が最大値です。

今回の問題では二つに分けるとは限らず、いくつにわけてもいいので、三つや四つさらに一般にn個に分けた場合の積最大値を探すことになります。
ではn個に分けるとした場合の、積最大値はどのような分け方か？
二つの場合から類推すると見えてきますよね

ＧＷ中は一寸出かけていまして久しぶりに来ましたらもう正解発表中なのですね。

さて　前回は（>>12）”の”がついている事を読み飛ばしましたので
（正数で考えていました）御指摘通り算数レベルでは正しくても数学レベル
では違いますね。（反省！）

では数学レベルで考えた内容を書き込んでおきます。
尚、>>31、>>32を見る前に考えた内容なのでそこいらがダブっています。

↓　いはらさん　
　え！　正数＝正の数　なのですか？
　ずっと正数＝正の整数　だと信じていました。
　勉強になりました。

「数が苦」なんて問題があったんですね
あんまり過去問をチェックしていないのです
でもおかげで先入観にとらわれずにすみました

ところで、自分の書いた解答を見直してみたら、肝心な式を書き間違えていることに気付きました。
論理展開や結果には全く影響のない部分でしたので、見逃していただけたのでしょう。
ありがとうございます。

＞ＳＨＩＳＨＩ１さん
正数＝正の数
で全く同じ意味だと思います。
整数だと意味が変わってきますが。

正の整数は一般には「自然数」と言いますね．

少しずつ少しずつ、答えに向かって進んでいきたいと思います

ではn個に分けた場合、どう分けると積が最大になるか？
なんとなく二つに分けたとき、等しくなるように分けるのが最大だったことを考えると、どうも全部等しくなるときが積最大になるような気がしますよね

実際に相加相乗平均の関係はn個バージョンで定理として存在します。
つまりn個の正の数a₁,a₂,…,a_nについて、

(a₁+a₂+…+a_n)/n≧ⁿ√(a₁*a₂*…*a_n)（←右辺はn乗根です）
（等号成立はa₁=a₂=…=a_nのときに限る。左辺は算術平均、右辺は幾何平均ともいいます）

が成り立つ、というわけです。
（ＳＨＩＳＨＩ１さん、こいつの証明はここでは省略させてください 今覚えている証明方法は指数関数e^xの下に凸という性質を利用した証明方法ですが、確か帰納法でも証明できたと思います）

ということで、この定理を使えば自信を持って「全部等しくなるように分割すれば積が最大！」と言えます。
したがって「いくつに分けるか」はまだ分かりませんが、とりあえずいくつかに分けたなら、全部等しくなるように分けるのが積が最大となる分け方です。

S=5について見てみると、
一つ（分けるとは言わない？）なら5
二つに分けるなら2.5*2.5=6.25
三つに分けるなら(5/3)*(5/3)*(5/3)=125/27≒4.63
四つに分けるなら1.25*1.25*1.25*1.25≒2.44
五つに分けるなら1*1*1*1*1=1
六つ以上なら積は1より小さいですので考慮しなくていいでしょう。
というわけで、S=5では二つに分けるときに積が最大となり、その最大値は(5/2)^2=6.25と分かりました。

…ここまでくると、(1)(2)はとりあえず1個から9個や27個まで分ければ最大値はどこかにあるだろうことは分かりますので、頑張って電卓を叩くかgoogle計算機能を使うかすれば、これらの答えが分かります

またもや少しだけ回答を進めます。

Sをn個の和に分解した場合、その積最大値は均等に分割したときでしたので、
(S/n)^n
と書けます。
これが最大値をとるときのnの値が、求める分割の個数になります。

ここから先は微分を使いますので、数�Vの知識が必要となります。
（微分を使わなくても解けるかもしれないのですが、ちょっとうまい方法が思いつきませんでした 　文系の方々、あるいは数�Vをまだ習っていない方々、申し訳ありませんでした。）

nは自然数ですが、

f(x) = (S/x)^x (x＞0の実数)

のように少し定義域を変更して関数を設定します。（微分を使えるようにするため）
上の数式は明らかに正の値なので、底がe（eはネイピア数で、e=2.718…）の対数（いわゆる自然対数）をとります。
（底はeで固定のため表記していません）

log(f(x)) = x {log(S) - log(x)}

両辺微分すると、

f'(x)/f(x) = log(S)-log(x)-1 = log{S/(ex)}

したがって

f'(x) = f(x) * log{S/(ex)}

となります。
f'(x)=0となるのはf(x)＞0ですので、log{S/(ex)}=0すなわちx=S/eのときのみです。
x＜S/eではf'(x)＞0、x＞S/eではf'(x)＜0となり極大値であることがわかります。
また極値がここの一箇所だけ、さらにx＞0で連続かつ微分可能なので、ここが最大となります。
したがってf(x)=(S/x)^xの最大値はx=S/eのとき、となります。

もうほとんど答えですけど解答発表はもう少ししてから、ということで

しばらく時間をおいてみましたが、特に新しいコメントもありませんでしたので、そろそろ解答発表に参ります
…というか、ほとんどNo.37が答えなんですけどね

（No.37の続きから）
結局 (S/x)^x の最大値は実数なら x=S/e が最大です。
しかし、いま考えるのは自然数個に分割する、という場合であるので、S/e が自然数となるとき以外は、S/e付近の自然数が積最大値の候補となるはずです。
これが積最大値の探索方法となるわけです。

つまり、与えられた和Sに対してS/eを計算する。
（ａ）計算結果が自然数nになったなら、Sをn個に等分するのが積最大。
（ｂ）そうでないときはS/eの前後の自然数をn,n+1として、n等分、(n+1)等分した場合それぞれを計算して大小を比較すればいい。

ということになります。
では実際にこれを使って（その一）（その二）を考えてみましょう。

（その一）S=9のとき。
9/e = 9/2.718… = 3.3…
ですので、3個か4個の分割が積最大になります。
3個に分けた場合、3*3*3=27。
4個に分けた場合、(9/4)*(9/4)*(9/4)*(9/4)=25.62…
となるので、3個に等分するのが積最大となり、その最大値は27です。

（その二）S=27のとき。
27/e = 27/2.718… = 9.9…
ですので、9個か10個の分割が積最大になります。
9個に分けた場合、3^9=19683。
10個に分けた場合、(2.7)^10=20589.1…
となるので、10個に等分するのが積最大となり、その最大値はおよそ20589です。
自然数限定の場合の最大値は3^9=19683ですので、それよりもおよそ900増えましたね

（その三）は上に書いたとおりで、ネイピア数eが鍵となるのでした

以上が今回用意していた解答です。
なんとなく理系高校数学の問題集に載っていそうな気もしますが…
多数のご参加、ありがとうございました

しばらく開けておきますので、感想等コメントお待ちしております

では閉店したいとおもいます
多数のご参加、ありがとうございました