質問すみません

すいません、少し疑問点があります。
√の中身で複素数の場合は定義されていなかったと思うのですが？
例えば√iを考える場合、{±(1+i)/(√2)}^2=iですので、どちらかを取るように設定する必要があると思います。
しかし実数の場合の√4=+2のように、+を取ればいいとは一概には言えません。
というのも、実数では大小関係がありましたが、複素数そのものでは大小が意味のない関係になってしまうからです。

設定がないままですと一つの四乗根につき四通りの複素数が考えられます。
つまり答えの可能性は４＊４＝１６通り、あり得ると思います。
ですので、せめてこの問題においてだけでも、ⁿ√（複素数）をどの複素数をとるか定義して頂かないと、答えがでなくなる特定できなくなると思います。
（4/30 23:36 一部修正）

↑そうなんです、四つとも虚数になるのです
問題をＡ＋Ｂと見なすと、ＡとＢの根号の中身は共役なので、仮に（Ａが４通り）×（Ｂが４通り）の計16通り計算すると、そのうちの四つは実数になると思います。
そのうちのどれかがおそらくケンスーさんの用意している答えになるのですが…

ケンスーさん、計算してみますのでお待ちください…
必ず四つ実数になると思いますが、整数になるかどうかは分かりません

参加者も少ないようですし、コメントの方に書きます。
問題があるようでしたら削除してください。改めて囁きの方に書きますので

⁶√{(14√2)+20)}
に関しては中身が実数なので、正の数を取ることにすると、
⁶√{(14√2)+20)} = ⁶√{(2+√2)³} = √(2+√2)
でしたので、問題の式は
⁴√{-26+(20√2)+(8i√2)√(2+√2)}+⁴√{-26+(20√2)-(8i√2)√(2+√2)}
です。ここからは根号の中身が複素数なので上で述べたことを考慮する必要がある。
上の式を
⁴√(a⁴)+⁴√(b⁴)
と表す。
x=⁴√(a⁴)
とすると、
x⁴=a⁴
x=a,ia,-a,-ia（iは虚数単位）
と表せる。
いろいろと計算した結果、
{2±i√(2-√2)}⁴ = -26+(20√2)±(8i√2)√(2+√2)
でしたので、
a=2+i√(2-√2), b=2-i√(2-√2)
とおけることがわかりました。
⁴√(a⁴)+⁴√(b⁴)
が実数になるのは、b=a^*（^*は共役の関係を表す）なので、
a+a^* = a+b
ia+(ia)^* = ia-ia^* =i(a-b)
(-a)+(-a)^* = -(a+b)
(-ia)+(-ia)^* = -ia+ia^* = i(-a+b)
の四つの場合だけ。
したがって実数の答えは
a+b = 4
i(a-b) = -2√(2-√2)
-(a+b) = -4
i(-a+b) = 2√(2-√2)
である。
まとめると、±4,±2√(2-√2)となる。

ケンスーさん、答えはこんなのになりましたけど、いかがでしょうか？

根号を外すときはこんな感じの計算をしました
四乗根は二乗根二つなので、まず-26+(20√2)±(8i√2)√(2+√2)を(a+bi)²と考えると
(a²-b²) + 2abi = {-26+(20√2)} ± {(8√2)√(2+√2)}i
ですので、実部・虚部がそれぞれ等しいので、
a²-b² = -26+20√2
ab = ±4(√2)√(2+√2)
です。
下の方を二乗してマイナスの符号をつけると
(a²)(-b²) = -32(2+√2)
ですので、a²と-b²を解に持つ二次方程式を解きました。
出て来た解のうち正の方がa²、負の方が-b²です。
a²の解が分かるのでaは±√(略)になりますが、
ab = ±4(√2)√(2+√2)
なので+の符号の場合はab＞0だからab同符号、ab＜0ならab異符号です。
したがって+の符号でも-の符号でもそれぞれ解は二通り出てきます。
（これはx²=-1のとき、x=±iとなるのと同じこと）
ただし、上で述べたように一つでも解を見つければ、x=a,ia,-a,-iaの計算で四つが出ることが分かっています。
ですのでそのうちのどれか一つだけについて計算していけばいいので、分かりやすいa＞0,b＞0のものと、a＞0,b＜0のものについての計算を進めました。
これで二乗根は外せるので、もう一度同じことをすれば四乗根を外せます。

僕の市にもついに感染者がでました
あちこち休校が出て来ているようです