二次関数y=x^2。

条件を満たすものは一般的に
y=ax^2(aは定数)
の形で書けると思います。

条件「曲線上に動点Pがあり，Pにおける接線の傾きは直線OPの2倍である」

P(x,y)とおく。
OPの傾きはy/x（ただしx=0の場合は除外しておく）。
Pにおける接戦の傾きはyのxによる微分dy/dxと表せる。
したがって
dy/dx=2y/x
が成り立つ。
あとはこの微分方程式を解く。
（←使っていいかどうか迷っているところ。確か今は高校三年生で習いますよね？
変数分離で解けて、
(1/y)dy=2(1/x)dx
log|y|=2log|x|+C（Cは積分定数）
log|y|=log(A*x^2)（ただしA=e^C）
y=±A*x^2（xの定義域x≠0、Aは正の定数）
が求める曲線。
P(0,0)と原点Oとの直線の傾きが定義できないので、x=0の定義域を入れても入れなくてもどちらでもいいような気もします…
（個人的には曲線が不連続だと気持ち悪く思うので連続にしたいから(0,0)も含めたいですが…
あとy=0の定数関数も条件を満たす（つまりA=0）ので、最終的には
y=A*x^2(Aは実数の定数）が答えとなります。

y=x^2

一応、y'=2y/x　みたいな微分方程式を考えて導きました。

Y=０
（傾き０の2倍も傾き０）

「直線」も広義の曲線の一部に含んで