解答 20000円

カード「α」で得られる金額の期待値を考える。
「α」「○」「×」を引く順番と期待値は
α○×→2α/6
α×→α/6
○α×→2α/6
○×→0
×→0
合計して 5α/6

金額がかかれているカードの合計は24000円なので、その5/6が期待値になる。

普通にやろうとしたら通り数が多すぎてとてもじゃないけどできませんね。
一応全く違う視点から考えて解いてみたので紹介します。あってる自信はほどほどです。

〜解答〜
問題の設定を無視して、必ずすべてのカードを引き切ると考えると、
例えば、カードを左から引いた順に

千五○千×万千五千（千：1000円のカード、五：5000円のカード、万：10000円のカード）

と並べるとすると、この場合獲得賞金は14000円となる。
この問題の場合、×のカードをどの位置で引くかがとても重要なるのだが、
別の言い方をすれば、他の金額のカード、○のカードが×のカードの
「前」にきているか「後」にきているかが重要になっている。

よって、このこと（カードの「前後」）のみに注目して考えると、

　|前|　×　|後|　という見方になり、

さらに、ある1枚のカードが「前」に来る確率は1/2、
「後」に来る確率は1/2 となるのは明らかであるから、

ある1枚のカードの獲得賞金としての期待値は、そのカードの持つ金額の1/2となる。
つまり、1000円のカードの獲得賞金としての期待値は500円となり、
このことがすべてのカードについて言えるから、結局全体での期待値は、
24000×1/2=12000円 となる。

また、今回の場合○のカードというものが存在するから、そのことも考慮に入れると、
○も同様に1/2の確率で獲得賞金を2倍にし、1/2の確率でそのままになるのだから、
○のカードの獲得賞金を倍増する期待値は、2×1/2+1×1/2=3/2倍 となり、
実際の獲得賞金の期待値は、上の値の3/2倍増しとなる。

よって、 12000×3/2=18000円　――（答）

↑
takaさんの場合、12000円から下のところで
「○も同様に1/2の確率で獲得賞金を2倍にし、1/2の確率でそのままになる」
について、たしかに○単独で見れば○を引くかどうかは1/2の確率です。
しかし、あるカードαに着目したときに、事象Aを「αを引く」、事象Bを「○を引く」と書くと、
事象ABが独立ではないので、
P(A∩B)≠P(A)*P(B)
のように単純に確率はかけ算では書けないように思います。

実際fyhさんが書かれていますように
「○とαを引く」…1/3（fyhさんのα○×と○α×を足したものに対応）
「○を引かずαを引く」…1/6（fyhさんのα×に対応）
となります。

takaさんの考え方で行くと、数式は
24000*(1/2)*{2*(1/2)+1*(1/2)}=24000*{2*(1/4)+1*(1/4)}
と表せ、前の(1/4)が「○とαを引く」に対応し、後者が「○を引かずαを引く」に対応することになります。
しかし上に書いたように独立ではなく単純なかけ算ではないので、前の(1/4)を(1/3)に、後ろの(1/4)を(1/6)に置き換える必要があり、数式は
24000*{2*(1/3)+1*(1/6)}=24000*(5/6)=20000
で、やはりfyhさんの期待値が正しいと思います。

なるほどです。

問題を簡単な形に置き換えてオーソドックスな方法で期待値を求めたところ、
やっぱり僕の説明した方法では答えが合わずfyhさんの解答と一致しました。

自分でやってみて変だなって思ったのは、やっぱり問題のルールは無視できないというところでした。
×の位置が右から2番目までならいいものの、3番目以降になると×以降の部分に余計なカウントが生まれて消す羽目になってしまい、賞金金額の少ない場合の確率が少し小さくなりました。

期待値が実際よりも小さいのもうなずけます。

実際、僕はfyhさんの解答の正誤についてはよくわからなかったので、自分で思いついた方法を試してましたが・・・　　見事撃沈しました

ボムボムさん、丁寧な解説をどうもありがとうございます。

＞takaさん

僕もこれといった良い方法は思いつかず…
僕が考えていた解法は
『「金額が書かれたカードを何枚引くか」の期待値を出してから、
一枚あたりの金額カードの平均値である「24000/7」をかけ算する』
という考え方でした。
「枚数の期待値」×「一枚あたりの平均金額」
で本当にいいのかどうか自信がもてず、数式で考えていくとどうやらそうなりそうだけど、めんどくさいしなぁ…
ということでストップしてました

fyhさんの解法はかなりサッパリしていていいですよね
No.3のコメントを書いた後に次の内容を思い出したので補足で…

確率変数X,Yとその平均E(X)とE(Y)について
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
はXYが独立だろうが従属だろうが成り立ちますが、
E(XY)=E(X)E(Y)
はXYが独立な場合にしか成り立たない
というのがありまして…

今回の問題では確率変数Xαをこのように設定してみます。
「金額αのカードだけに着目して、カードを引いたときはα、引かなかったときは0」
するとE(Xα)=α/2となるのはtakaさんもおっしゃっている通りです。
したがって仮に○のカードを無視すると、カードの合計金額の期待値なのでΣXαの期待値を求めることになります。
上にも書きましたように、これらは独立・従属とは関係なくそれぞれの期待値に分解できますので、
E(ΣXα)=ΣE(Xα)=Σ(α/2)=24000/2=12000
となります。

次に確率変数Yをこのように設定してみます。
「○カードだけに着目して、カードを引いたときは2、引かなかったときは1」
元々はこの○のカードも考慮に入れて問題を解くことになります。
このYを使うと、問題の合計金額はΣ(Xα*Y)と書けて、この期待値を求める問題になります。
ここで上に書いた「積は独立な場合だけ分解できる」ことが効いてきますので、今回は分解できません。
まず和の部分は独立・従属関係ないので次のように式変形できます。
E{Σ(Xα*Y)}=ΣE(Xα*Y)
ということで、金額カード一枚と○のカード一枚に着目し、Xα*Yの期待値を求めてあとは足し算でいい、ということになります。
あとはfyhさんの解答になります。

今の高校では確率変数は習わないですかね？
ここのスレ主の卵月さんは高校二年生とのことなので、もし習わないあるいはまだ習っていないのであれば、この説明に代わる説明があればいいのですが

＞ボムボムさん

おぉ 　めっちゃ納得です。

確かに高校では確率変数は習いません…　ゆとり世代の僕が使ってた数学Ｃ　の教科書を引っ張りだしてみてみたら、一応確率変数のことは載ってましたが、普通この分野は履修しませんし。

お陰さまで僕自身の中では解決しましたが、おそらくスレ主さんには難しい話になってしまいましたね

○を無視して，金７枚と×カードだけを考えます．
８枚のカード中，×が何番目に来るかは全て等確率ですから，
×の左側にある金カードの枚数は 0〜7 枚まで全て 1/8 の確率で生じます．
また，金カードの平均金額は a=(1000x4+5000x2+10000)/7=24000/7 で，
n 枚の場合の期待値は na です．

次に○がそれ以外のカードの間または両端に入る確率は等しく 1/9 であり，
×の左側にある確率は，金カードが左側に n 枚の場合，(n+1)/9 です．
逆に右側にある確率は (8-n)/9 です．

よって，求める期待値は
((0x1+2ax2+4ax3+...+14ax8)/9+(0x8+ax7+2ax6+...+7ax1)/9)/8=35a/6=20000
ということになります．

この問題はクイズジャンル「ＨＥＬＰ（答え不明）」ですネ。
もし、卵月様がどこかで出会った問題の答えが分からず投稿なさったのだとすれば、
「もとの問題は算数・数学なのか？」「問題文の引用は正確なのか？」が気になります。

こちらの問題文を拝見して思ったことは…
「カードをひいたらその金額がもらえる」という意味の一文が脱落している？
このクイズ（もとの問題）が、「頭の体操」だと考えれば、問題文の条件から
導かれる答えは「もらえるかどうか分からないんでしょ。答：期待値は０円」
というヒッカケ問題なのかも…
という、どうでもいい酔っぱらい（私）の独り言はおいといて…、
だけど、この「教えてスレ」に回答なさったレスNo.1〜7の４人様へは
スレ主さんから何か返信が欲しいなぁ…と思います。

＊このレスは卵月様へのコメントです。他の皆様を議論に誘うものではありません。
どうか皆様、「あっさりスルー」お願いします。失礼いたしました。ダダダッ…（逃）