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算数/数学クイズ答え

Q19の答え

下記参照

正解者
waai
heitaさん iceさん

解説

この問題を見てすぐに『素数』が思い浮かんだ方、相当な兵ですね。一体なぜ素数なのか?それでは順を追って説明していきましょう。

まずは元ネタからお借りして、「10までの数を2グループに分ける」ことができるか考えます。「1,2,3,4,5,6,7,8,9,10」です。
さて、ここで注目すべきはという数です。2つのグループに分けたとき、そのどちらかには必ず7があります。しかし1から10までの中に、7の倍数になる数は7しかありません。つまり、7が含まれているグループの積は7の倍数になりますが、もう片方のグループの積は7の倍数にはならないのです。よって2つのグループの積が等しくなることはありません。

次に「15までの数を2グループに分ける」ことを考えてみましょう。さっきと違う点は、14(7の倍数)があるということです。7と14を別々のグループにすれば先ほどの問題は解決すると言えるでしょう。
ところが、今度は13が曲者。13という数は素数ですので、7と同じように考えれば、13×2=26までは絶対に2つのグループの積が等しくなることはないと言えます。

以上のことから分かることは何でしょうか。それは・・・
ある数を決めたら、「その数までの最大の素数」×2までに必ず次の素数が出現してしまうということです。言い換えれば、『任意の自然数Nに対してNと2Nの間には素数が存在する』ということになります。このことは実は証明されているらしく、チェビシェフの定理と称されているそうです(難しくて私には理解できませんでした)。

この定理を認めることにより、どんな数についても、2つのグループの積が等しくなることはありえないという結論になります。

正直なところ、私がこの問題を作ったときにはこんな定理があるとは露知らず、数が増えるに従って2Nまでの差もどんどん広がっていくなぁという予想しかできませんでした。それで、問題文の方にあのような但し書きをさせて頂いたというわけです。浅識な自分にお付き合い下さったことを感謝すると共に、魅力ある数学の世界を知ることができてとても嬉しく思っております。

◆iceさんの解答

もし、このような数の組がつくれたとするならば、それぞれの組に含まれる同じ素因数の数は等しくなければならない。この中で最大の素因数をpとすると、このような数の組を得るために必要な自然数列は少なくともpの2倍の長さが必要になるが、pの定義から「p<x<2p」のような素数xが出現してはならないことになる。
ところが、チェビシェフの定理から、「n<q<2n」となるような素数qが存在する(任意の自然数nについてnより大きく2nより小さな素数が必ず存在する)ことが証明されており、xは必ず存在することになる。
よってこのような数の組は存在しない

◆heitaさんの解答

まず、自然数Nまでに存在する最大の素数をAとする。
「任意の自然数Nと2Nの間には少なくとも1つの素数pが存在する」「素数pの次の素数は2pより小さい」といった素数の性質上、AはNまでのどの自然数をどの組み合わせでかけ合わせてもできない。
よって、Aをどちらかのグループに入れると、もう1つのグループではAと同じ数をかけることができない。したがって、2つのグループの積が一致することはない

なお、別解に通じるものとして、以下のような考え方もあります。参考までに掲載致します。

2つのグループのそれぞれの積をA,Bとおく。A=Bになるためには、A*B=C^2とならなければいけない。つまり、10までで考えるならば、1から10までの全ての積(=3628800)がある数の2乗の形をしてなくてはならない。ところが、3628800の平方根は整数にならない。よって、2つのグループのそれぞれの積が等しくなることはない。

★素数とは何とも不思議な数ですね。でも、多くの研究者が素数の魅力に取りつかれるのも分かる気がします。現在でも数学、ことに素数に関しては未解決問題がいくつもあるようです。その例を以下に挙げてみました。

  • 双子素数は無限に存在するのか?
  • 4以上の全ての偶数は2つの素数の和で表せるのか?
  • フェルマー素数は無限に存在するのか?
  • メルセンヌ素数は無限に存在するのか?
  • フィボナッチ数列には無限に素数が出現するのか?
  • n^2+1の形の素数は無限に存在するのか?
  • 全てのnに対し、n^2と(n+1)^2の間に素数が存在するのか?

問題自体は小中学生でも分かるので、一度みなさんも未解決問題にチャレンジしてみてはいかがでしょうか。

参考

落ち着くんだ。素数を数えて落ち着くんだ -- [荒木飛呂彦 / ジョジョの奇妙な冒険]

問題投稿者:管理人アレンジ


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