クイズ&パズル答え

クイズ大陸トップ > Ｑ１６１〜Ｑ１６５ > Ａ１６４

Ｑ１６４の答え

下記参照

正解者
PDJさん しずくさん	subさん kimitoさん

◆kimitoさんの解答

n 角形の対角線は
n 個の頂点のうちの 2 つを選ぶ方法 - 辺の数なので,
C(n,2) - n = ((n * (n - 1)) / 2) - n

n 角形の交点の数は, n 個の頂点から 4 つの頂点を選んだときに作られる
四角形の対角線の交点の数なので,
C(n,4) = n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 24

A. 対角線 = ((n * (n - 1)) / 2) - n
　 交点 = n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 24

◆PDJさんの解答

対角線の数
一つの頂点からその点と隣の2点をのぞく頂点に対して対角線がひける。
したがってN(N-3)/2本

交点の数
N個の頂点から4つの点を選んで隣合わないもの同志をむすぶことにより
一つの交点が出来る。したがって交点の数はその4点の選び方の数だけ存在する。
よって_NC₄=N(N-1)(N-2)(N-3)/24個

ところでQ164ですが、
とあるミステリー作家、名古屋大学とくれば森博嗣ですよね。マチガイナイ

◆しずくさんの解答

対角線一本は、頂点を２つ選ぶ組み合わせ一つに対応します。
ただし、隣り合う頂点を選んだ場合(Ｎ通り)は除外。
というわけで、
_ＮＣ_２−Ｎ＝Ｎ(Ｎ−１)/２−Ｎ＝Ｎ(Ｎ−３)/２　…答え

対角線の交点一つは、２本の交わる対角線の組み合わせ一つに対応します。
それは、Ｎ角形の頂点から４つ選んでできる４角形一つに対応します。
(この４点を時計回りにＡＢＣＤと名付けたとすると、
ＡＣ、ＢＤの組み合わせ「のみ」が「必ず」交わります。
また、このときＡとＣ、ＢとＤは隣り合っていないので、
Ｎ角形の辺と一致することはありません)
よって、Ｎ個の頂点から４つ選べばいいので、
_ＮＣ_４＝Ｎ(Ｎ−１)(Ｎ−２)(Ｎ−３)/24　…答え

ところでこのミステリィ作家、森博嗣ですよね^^
私は講演会には行っておりませんが…

思い出は全部記憶してるけどね 記憶は全部は思い出せないんだ
　---　[森博嗣 / すべてがFになる]

問題：ゆぱけんさんより提供頂きました