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通るマス目の個数は?

難易度：★ 　

具無しのとんぺい 2017/08/22 05:50

見てても読んででも目と耳がチカチカしますが... (^^;)

(笑)
うまい説明が思いつかなくて申し訳ないです (-へ-;)

まず、40cm×40cmの正方形の中に縦横1cm間隔でグリッド線を引いてマス目状にします。
これにより40cm×40cmの正方形の中には1cm×1cmの正方形が、40×40=1600個敷き詰められた状態になります。

つぎに、この40cm×40cmの正方形の中にすっぽりと収まるような円を描きます。
つまりこの円の中心は40cm×40cmの正方形の中心と一致し、その半径は20cmです。

ではここで問題です。この円が通過するマス目(1cm×1cmの正方形)の個数はいくつでしょうか。

答えは計算で求めても、思いつかない人はゴリ押しで数えてもらっても構いません。
対称性とかを考えれば数え上げる個数自体は意外と多くないです。
ワードとかを使えばキレイな作図もできます。

グリッド線の描き方(Word)
http://www.becoolusers.com/word/grid-settings.html

それではご健闘をお祈りしています (^^)

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

ヒント①(2017.8.27)
”「通過する正方形の個数」は別の個数に帰着することで簡単に数えられます。ただし少し注意が必要です。”

更なるヒントを追加しました。>>7 (2017.8.29)
"ヒントを付け足しますと、正方形を通過するときに必ず「あれ」を通過するので、正方形を通過する回数と「あれ」を通過する回数は対応しているはずです。そして、「あれ」を通過する回数は直感的に知ることが出来ます。

また、ゴリ押しで数えた時におそらく、「これは交点を通っているかどうかきわどいな」と感じる箇所があったと思います。では円がその交点を通過しているかどうかを調べるにはどうすればいいでしょうか。これはその交点に着目することで、計算で調べることが出来ます。(そして、この考え方はゴリ押しで数えない場合にも重要になってきます)"

ヒント補足 >>8 (2017.8.29)
"ヒントが自分で読んでて分かりづらかったので少し補足しますと、交点に着目というよりかは交点(周辺)を通る円に着目する、と言った方がイメージとして適切かもしれません。
それによって、円がその交点を通るために満たすべき条件が見えてくると思います (^^)

"

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
解答公開日は、出題から3週間後の9月12日あたり、ロックは9月19日あたりを予定しています。(2017.8.25)

解答公開しました！(2017.9.12)

ロックしました！(2017.9.19)




	【答え 148個 ※簡潔な説明はスレに任せます。対称性から四分円の通る個数を4倍すればいいので、以下右上の20×20マスについて考えます。「四分円が何個の正方形を通るか」という問題は、結局のところ、「四分円が縦横のグリッド線を何回通過するか」という問題に帰着されます。(なぜなら、例えば四分円を上から右に描くとき、四分円が正方形を通過するときには、必ず出口となる辺を1つ通過するからです。) 一番上からスタートして、一番右に到達するまでに縦20本、横20本のグリッド線を通過するので答えは40個と答えたいところですが、四分円がグリッド線の交点を通過する場合にはその個数を差し引かなければいけません。(交点を通っていない場合は1つの正方形を通過するときに1本のグリッド線のみを通過しますが、交点を通る場合には1つの正方形を通過するときに2本のグリッド線を通過しているからです。) よって以下、この個数を数えます。・四分円が一番右に達した時にはグリッド線の交点を通過しています。(まず1個) ・道中でグリッド線の交点を何個通過しているかは、円の半径が20cmなことから、つまり三平方の定理 20^2 = m^2 + n^2 (m, n : 自然数) を満たす(m, n)の組が何組あるか、ということになります。(これを満たしている所で円が交点を通っていることになります) これを調べるために、m=1, 2, … , 19に対して、20^2 - m^2が平方数になる場合を調べると、 (m, m^2, 20^2 - m^2) = (12, 144, 256), (16, 256, 144) のみであることから、 (m, n) = (12, 16), (16, 12) の2組だけが先の式を満たすので、道中に通過する交点の数は2個だとわかります。よって、四分円は(スタート地点を除いて)3個の交点を通過しているので、通過する正方形の個数は40-3=37個となり、円全体では37×4=148個の正方形を通過します。 (このように計算すると、m=6のときに(m^2, 20^2 - m^2)=(36, 364)で19^2=361とかなり近くなることから、作図で数える場合はここら辺が交点になってるかどうかかなりきわどくなるポイントになります。) ※余談ですが、上述の三平方の定理が12^2 + 16^2 = 20^2 でしか成り立たないことは、実はピタゴラス数の性質からすぐにわかります。 (ピタゴラス数: 三平方の定理(ピタゴラスの定理) a^2 + b^2 = c^2 を満たす(どの2つも)互いに素な3数の組(a, b, c)を「ピタゴラス数」と言います。例えば(3, 4, 5)はピタゴラス数ですが、(6, 8, 10)はピタゴラス数ではないです(互いに素じゃないので。)) 実は、先の(12, 16, 20)はピタゴラス数(3, 4, 5)をそれぞれ4倍したものです。この例からわかるように、c=20で三平方の定理が成り立つのは (c=(20の約数)のピタゴラス数)の数倍、であることが分かります。つまり今回の場合は、 (c=1のピタゴラス数)×20, (c=2のピタゴラス数)×10, (c=4のピタゴラス数)×5, (c=5のピタゴラス数)×4, (c=10のピタゴラス数)×2, (c=20のピタゴラス数) ということになりますが、ピタゴラス数の一般的な性質としてcが奇数ということが知られているので(これは(奇数)^2と(偶数)^2を4で割った余りを考えることで容易に示せます)、c=5の場合以外はピタゴラス数が存在せず、(12, 16, 20)のみが定理を満たすことが分かります。(c=1のピタゴラス数は存在しません) (※本当は(6,8,10)とかもピタゴラス数(可約ピタゴラス数)ですが、ここでは文章が煩雑にならないように既約のもののみをピタゴラス数としています。。。)】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

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□□□□□□□□□□□□□□□□□□■□
□□□□□□□□□□□□□□□□□□■■
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□□□□□□□□□□□□□□□□□□□■
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□■
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□■
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□■
中□□□□□□□□□□□□□□□□□□■

1つの象限に37個ずつ。37×4＝148
20^2 = 12^2 + 16^2なので、頂点を抜ける場所が各象限に2箇所ずつある。

みれい 2017/08/22 19:43

うまい説明が思いつかない…

具無しのとんぺい簡潔に説明して下さりありがとうございます (^^)

というかお疲れ様です (^^;)

(笑)

その通り！正解です！おめでとうございます (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.2

１４０個？
４分の１の円でごり押しで数えましたが、三角関数のみで計算できそうですので、後ほど挑戦したいと思います。

きたちゃ 2017/08/22 22:26

ごり押しで数えてみました。

具無しのとんぺいお疲れ様です (^^;)

(笑)
んー、ちょっとだけ個数が少ないです (+_+)

作図で数える場合にきわどい箇所が何ヶ所かあるので、そこらへんですかね? (-へ-;)

再挑戦、お待ちしています (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.3

求めるのは,
(円が縦の線を通過する回数)+(円が横の線を通過する回数)-(円が縦と横の線を同時に通過する回数)
と一致する。

(円が縦の線を通過する回数)=39*2=78回
(円が横の線を通過する回数)=39*2=78回
(円が縦と横の線を同時に通過する回数)=(m^2+n^2=20^2(m,n≠0)の整数解の個数)

m^2+n^2=40^2の整数解は　(m,n)=(±16,±12),(±12,±16)の8個

よって, 78+78-8=148

なるほど 2017/08/23 12:13

こうかな？どこかでミスしてそう・・・

具無しのとんぺい非常に簡潔な説明ありがとうございます！ (^^)

自分の説明能力のなさに涙が出そうです (;v;)

(笑)

正解です！おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.4

円形を描くような関数はx^2+y^2=r^2と、さっきググってきました。

yについて解けば
y=±√(r^2-x^2)ですが、
今回は0<=x<=20の範囲で、更にy>=0の時のみ考えて、
第1象限（？）のみを数えて、4倍にして値を求めようと思います。
x=20のとき、y=0
x=19のとき、y=√39(6<√39<7)...7マス
x=18のとき、y=√76(8<√76<9)...3マス
x=17のとき、y=√111(10<√111<11)...3マス
x=16のとき、y=√144(=12)...2マス
x=15のとき、y=√175(13<√175<14)...2マス
x=14のとき、y=√204(14<√204<15)...2マス
x=13のとき、y=√231(15<√231<16)...2マス
x=12のとき、y=√256(=16)...1マス

xが0から12の範囲のマスだが、偶然yが0から12の範囲のマスの数があり、
円形なのでこれに等しいマスの数になるはずである。...15マス

ここまで足すと37マス。
これが1/4の扇形部分のマス数なので、4倍すれば
答えは、148マス。

さっちゃん 2017/08/24 00:07

結局力技ですねこの解法だと。
自信は微妙なところ。

具無しのとんぺいなるほど、確かに力技ですがこのくらいなら計算してやろうって気になりますね (^^)

本解だともうちょっと計算量は少ないです。

第1象限であってます (^o^)

(笑)

正解です！おめでとうございます！ (^_^)

▲ △ ▽ ▼ No.5

答え　164マス

「半径20、角度90度の扇形の孤の軌道と通過マス数」
※（x座標,y座標）→次の地点　r＝ルート記号

（20,0）→（19,r39）7マス　※　6＜r39＜7（x20→19へ進む？までにy0→6～7まで上がる。その通過マス数は7）
（19,r39）→（18,r76）4マス　※　8＜r76＜9
（18,r76）→（17,r111）3マス　※　10＜ｒ111＜11
（17,r111）→（16,r144）1マス　※　r144＝12
（16,r144）→（15,r175）3マス　※　13＜ｒ175＜14
（15,r175）→（14,r204）3マス　※　14＜ｒ204＜15

これのx,yを入れ替えた点も通過するので通過マスを二倍
（7+4+3+1+3+3）*2＝42マス

この孤の真ん中は（20/r2,20/r2）、14＜20/r2＜15なのでx15マス目、ｙ15マス目を二重にカウントしているので42-1で41マス。

90度の扇形で41マスなので4倍して164マス

j 2017/08/24 22:23

合っているんだろうか？ (^^;)

説明になっているんだろうか？ (・o・∥)

具無しのとんぺい計算方法はさっちゃんさんと同様ですね (^^)

ただ、いくつか数え間違いをしていて、その差し引きの結果、本来よりも多い答えになってしまっています (・o・∥)

余力があればもう一度チャレンジお願いします (-_-;)

大丈夫です、ちゃんと伝わってますよ (^_^)

説明、難しいですよね (^^;)

(笑)

▲ △ ▽ ▼ No.6

具無しのとんぺい 2017/08/27 06:52

ヒント追加しました。参考にしたい人はどうぞ (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

１２０個？
角度１度から４５度まで縦横の座標を求めました。
高さは、２０*（ｓin(x))
横は、２０*（cos(x))
xは飛び飛びで計算。
すると４５度まで１５のマスに入り、８倍の１２０個。
４６度を計算したら、４５度と重複しないので、４５度まででＯＫ。

きたちゃ 2017/08/28 20:08

コメントの、ちょっとだけ個数が少ないです。というのはどっちに解釈したらいいのか分かりませんでしたが、これもごり押し計算で求めました。
ちなみにヒント追加、意味が分からずじまい。 (^^;)

具無しのとんぺいんー、遠ざかっちゃいましたね... (^^;)

どうしてこの数になったのかがいまいちピンと来てませんが、この方法でも正解の個数を調べることはできそうです。ただし、厳密には正確ではありません。
(角度が1°ずれたときにsin, cosのどちらか片方が1繰り上がった(or繰り下がった)場合は素直に隣のマスに移ったと捉えればいいですが、sin, cosの両方が1繰り上がった(or繰り下がった)場合(今回は1か所だけそのようなポイントがあります)は交点を通過したのか、交点スレスレを通過したのかを判断できないため。)

ヒントを付け足しますと、正方形を通過するときに必ず「あれ」を通過するので、正方形を通過する回数と「あれ」を通過する回数は対応しているはずです。そして、「あれ」を通過する回数は直感的に知ることが出来ます。

また、ゴリ押しで数えた時におそらく、「これは交点を通っているかどうかきわどいな」と感じる箇所があったと思います。では円がその交点を通過しているかどうかを調べるにはどうすればいいでしょうか。これはその交点に着目することで、計算で調べることが出来ます。(そして、この考え方はゴリ押しで数えない場合にも重要になってきます)

と、長くなりましたがこんな感じでしょうか。
それではご検討お祈りしています (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.8

コメントを見て。
正方形を通過するときに、格子線を通る。
この数を計算すればいいのだと思います。
そこで、円が格子の縦横の交点を通過した場合、数はカウントされませんが、それは何か所あるのか、ないのか確認できるということでよろしいでしょうか？

きたちゃ 2017/08/29 07:22

新たな疑問がうまれてしまった。
・・・・・・・・・・・・・・・・
囁き欄、何か勘違いしてて変な文になってしまった。
次の日曜日再度考えてみます。

具無しのとんぺいその通りです！ (^_^)

ヒントが自分で読んでて分かりづらかったので少し補足しますと、交点に着目というよりかは交点(周辺)を通る円に着目する、と言った方がイメージとして適切かもしれません。
それによって、円がその交点を通るために満たすべき条件が見えてくると思います (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.9

伊藤那由多 2017/09/03 07:03

まず第1象限のみで考え、その結果を4倍することで答えを得る。
右端から反時計回りに回る円周上の点を考え、この点が何個のマス目を通るか考える。
すると、点がマス目の境界線上を通るとき、通ったマス目の数が1だけ増えることがわかる。
右端から上端まで回転する間に点は境界線を水平線・垂直線それぞれ19本ずつ通過するので合計38本の境界線を通過する。
よって、最初の1マスを数えると合計は39マスである。

しかし、点がマス目の頂点をちょうど通過するとき、通過した頂点の数だけ通過するマス目の数は少なくなる。
このような場合は、a^2+b^2=40^2となるような1以上の整数の組(a,b)の数だけ起こる。
a^2+b^2=40^2の両辺を8^2で割った余りを考えることにより、a,bは8の倍数でかつ(a/8)^2+(b/8)^2=5^2が成り立つ。
よって、これをみたす(a,b)の組は(24,32),(32,24)のみなので、
点が通るマス目の数は39-2=37(個)である。

これは第1象限のみで考えた数なので、
求めるマス目の個数は37×4=148(個)である。

具無しのとんぺい他の回答者様の楽しみを奪うことになるので、回答は囁き欄のなかにお願いします (-_-;)

答えは正解です

ただし、40^2ではなく20^2ですけど… (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.10

答：　148個。

準備１：X^2+Y^2=400を満たす整数解は（20,0）関連の４つと、(12,16)関連の8つ。つまり、円弧の中で、正方形の角をちょうど通るのは12回。

準備２：正方形の角をかすめる場合を除き、弧がＸ軸あるいはＹ軸を交差するごとに、円が通過するマス目が一つずつ増えていく。

準備３：準備１と準備２から、途中に正方形の角を通過しない円弧において、
通過するマス目の数=　Ｘ軸交差数＋Ｙ軸交差数＋始点１

準備４　第一象限に、正方形の角から正方形の角までの円弧は３個。
その過程で、
(20,0)→(16,12) 3+11+ 1 =15マス
(16,12)→(12,16)　3+ 3+ 1 = 7マス　
(12,16)→(0,20） 11+3+ 1 =15マス
合計37マスを通過する。　
第一象限から第四象限までのそれぞれに重複はないので、円全体では37マス*４＝148マスが解。

たっくん４ 2017/09/04 23:41

具無しのとんぺいさん、こんにちは。楽しい問題をありがとうございます。
できるだけロジカルに答えてみます。

具無しのとんぺいこんばんは。ご回答ありがとうございます (^^)

楽しんで頂けたみたいで何よりです (^^)

その通り！完璧です！ (^_^)

おめでとうございます！ (*^_^*)

▲ △ ▽ ▼ No.11

答１４８マス。

考え方
第一象限について考える。
まず、円に限らずどんな曲線でも、座標（０，２０）から（２０，０）に
向かって線を引けば、グリッド線をまたぐごとに通るマスが１増える。
格子点を一切通らないと仮定すると、右に１９マス、下に１９マス移動。
始めの１マスを足して、３９マスを通過することになる。

問題は、格子点を通過する場合、グリッド線の縦と横を同時に通過する
ため、そこで１マスしか増えないことである。つまり、上の計算よりも、
格子点を通過している回数分だけ、通過するマス目が少ないことになる。

格子点を通過するかどうかは、ピタゴラスの定理で整数の二乗の和として
半径を表せるかどうかで判定できる。すなわち、
ピタゴラスの定理でＲ＾２＝ｎ＾２＋ｍ＾２
Ｒが題意より２０のとき、ｎ、ｍともに整数になる組合せは、
（ｎ，ｍ）＝（１２，１６）と（１６，１２）のふた通り。

つまり、第一象限で３７マスを通過する。
これを全周分合計すると３７×４＝１４８マス。

Yss 2017/09/09 17:06

具無しのとんぺいさん、こんにちは。ありがとうございます。
・・・一応ロジカルに答えてみましたが、この方針も順に確認したりするので・・・案外ゴリ押しで数える方針も悪くないかも、と思いました (^^;)