 nothing ( No.3 ) |
- 日時： 2007/06/06 00:56
- 名前： tm
- まず
n-1
Σ k とは、kを1からn-1まで変化させて足していく、つまり
k=1
1 + 2 + 3 + ・・・ + (n-3) + (n-2) + (n-1) という意味です。
これの計算方法として、
{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・
と考えます。
1)nが奇数のとき
上の式の{}は (n-1)/2個 あることがわかります。
例えば n=7 のとき
1 + 2 + ・・・ + (n-2) + (n-1)
=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
={1+6} + {2+5} + {3+4}
より、{}は (7-1)/2=3個ある。
{}の中はすべて n になることがわかるので
n-1
Σ k = n・(n-1)/2
k-1
2)nが偶数のとき
{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・
のように考えていくと n/2 の数があまります。
例えば n=6 のとき
1 + 2 + ・・・ + (n-2) + (n-1)
=1 + 2 + 3 + 4 + 5
=(1+5) + (2+4) + 3
となり 3 だけ組が出来ずにあまります。
よって n/2 だけ別に考えると
{1 + (n-1)} + {2 + (n-2)} + {3 + (n-3)} + ・・・ + (n/2)
となります。この式の{}は (n-2)/2個 あるので
n-1
Σ k = n・(n-2)/2 + n/2 = n(n-1)/2
k-1
となり、結局 n が偶数のときも奇数のときも
n-1
Σ k = n(n-1)/2
k-1
となることがわかります。
だから
n-1
2 Σ k
k=1
=2・(1/2)(n-1)n
となります。
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