 コメント ( No.13 ) |
- 日時： 2025/01/07 12:41
- 名前： ほにょこ
- 答えを発表します。
まずはおまけ問題から。
紅団子の縦、横の個数をx,y(x≦y)とします。
団子の総数は、xy
白団子の数は、(x-2)(y-2)
紅団子の数は、xy-(x-2)(y-2)=2(x+y-2)
です。
[1]
2(x+y-2)=(x-2)(y-2)+1
より、
xy-4(x+y)+9=0
これを変形すると、
(x-4)(y-4)=7
(x,y)=(5,11)
紅団子は28個、白団子は27個です。
[2]
2(x+y-2)=7/12*(x-2)(y-2)
を変形して、
7xy-38(x+y)+76=0
両辺に7をかけると、
49xy-7*38(x+y)+7*76=0
これを変形すると、
(7x-38)(7y-38)=912
7x-38は7で割ると4余る数なので、912をそういう数の積に分解すればよいです。
4*228しかないので、
(7x-38,7y-38)=(4,228)
(x,y)=(6,38)
よって、紅団子は84個、白団子は144個です。
[3]
4(x+y-2)^2=18xy
を変形して、
2(x^2+y^2)-5xy-8(x+y)+9=0
これを変形して
(ax+by+c)(dx+ey+f)=整数の定数
とできるかどうか考えます。
a,b,c,d,e,fは整数とします。
x^2の係数はadなのでad=2
a=1,d=2としてみるとb,c,d,efが一意に決まり、
(x-2y-8)(2x-y+8)=-73
であることが分かります。
(x-2y-8,2x-y+8)=(1,-73)(-1,73)(73,-1)(-73,1)
0≦x≦yとなるのは(x,y)=(17,41)のみ。
よって、紅団子は112個、白団子は585個です。
本編について。
最初の白枠、中紅の状態を第一形態、
それを並び替えて紅枠、中白にした状態を第二形態、
団子を1個減らして紅枠、中白に並べ替えた状態を第三形態
とします。
まず、第二形態から第三形態についてのところを考察します。
第二形態の枠がx*y、第三形態の枠がp*qだったとします(x≦y、p≦q)。
pq =xy-1です。
第二形態の白団子の個数は(x-2)(y-2)
第三形態の白団子の個数は(p-2)(q-2)
白団子が減った数は、
(x-2)(y-2)-(p-2)(q-2)=xy-pq-2(x+y)+2(p+q)=1-2(x+y)+2(p+q)
これは奇数なので1と決まります。
食べたのは白団子だったのです。
これでx+y=p+qと分かりました。この値をNとします。
y=N-x、q=N-pです。
これをpq =xy-1に代入して変形すると、
(x-p)(N-p-x)=1
x,p<=N/2なのでx+p<=Nであり、N-p-x>=0
よって、x-p=N-p-x=1
(x,y)=(N/2,N/2),(p,q)=(N/2-1,N/2+1)
第二形態は正方形だったことが分かります。
第一形態の枠をa*bとします(a≦b)。
ab=x^2
第一形態における紅団子の数は、(a-2)(b-2)
第二形態における白団子の数は、(x-2)^2
よって、(a-2)(b-2)+(x-2)^2=ab=x^2
左辺*3=ab+2x^2 を変形して、
(x-6)^2=30-2(a-3)(b-3)
とします。
右辺は偶数なのでxも偶数。
a,b≧3なので右辺は0以上30以下。
よって、(x-6)^2は0か4か16です。
(a-3)(b-3)は15か13か7です。
積1*15,3*5,1*13,1*7に対応して、(a,b)=(4,18),(6,8),(4,16),(4,10)
ab(=x^2)が平方数になるのは(a,b)=(4,16)のときだけです。
このときx=8
第一形態は白団子の枠が4*16
白団子の数は36個、紅団子の数は28個。
第二形態は紅団子の枠が8*8
紅団子の数は28個、白団子の数は36個。
第三形態は紅団子の枠が7*9
紅団子の数は28個、白団子の数は35個。
となり、矛盾はありません。
弟子が食べたのは白団子。
紅団子は28個、白団子は36個ありました。
余談について。
0^3+1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=15333
2^1+2^2+2^2+2^2+2^2+2^8+2^9+4^5+6^3+7^0=2027
この形の式であれば(足し算の順序を除いて)一意に決まると思います。
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