 コメント ( No.14 ) |
- 日時： 2016/10/17 12:48
- 名前： あれれ
- まずは基本的な作図方法を一応書いておきます。
・線分ABの垂直二等分線の描き方
Aを中心にBを通る円、Bを中心にAを通る円を描き、
その2つの交点を結ぶとABの垂直二等分線になります。
このときABとその垂直二等分線の交点はA,Bの中点です。
・点Aを通り、直線Lに垂直な直線の描き方
Aを中心にして、Lと交点を2つ持つ適当な大きさの円を描きます。
その円がLから切り取る線分の垂直二等分線が求める直線です。
・点Aを通り、直線Lに平行な直線の描き方
直線L上の任意の点から直線Lに垂直な直線を描きます。
Aからその直線に垂直な直線を描けばよいです。
A,B,Lは任意の点と直線にすることができます。
AP+BP=60(cm)となる点Pの集合はA,Bを焦点とする楕円です。
錘はこの楕円上の点です。
以下楕円といえばこの楕円を指すものとします。
では、問題の答えです。
糸の張力に注目すると、錘をCAの方向に引っ張る力の大きさとCBの方向に引っ張る力は等しいことが分かります。
それらの水平成分の大きさが等しくないといけませんので、ACとBCの地面に対する角度は同じです。
角ACBの2等分線は地面に垂直だということです。
楕円のCにおける接線が地面に平行ということでもあります。
また、錘の位置エネルギーに注目すると、錘は位置エネルギーが最小の位置です。
つまり、地面からの高さが最も低くなる位置に来ることが分かります。
このことからも楕円のCにおける接線が地面に平行ということが分かります。
A,B間の距離は40cm。
A,Bの中点を求めれば20cmが測れますので、60cmも測れます。
Bを中心に半径60cmの円を描きます。
この円と、Aを通り地面と垂直な直線との交点2つのうち、下のものをPとします。
APの垂直二等分線とBPの交点がCです。
発展問題について。
楕円と直線の関係を円と直線の関係に変換してやればよいです。
楕円はある方向に何倍かすると円になります。
楕円と直線に対してその変換を行った円と直線は作図可能です。
その交点について逆の変換を行えば、元の楕円と直線の交点になります。
線分ABを延長してできる直線をX軸、Oを通りx軸と直交する直線をy軸とします。
まず、楕円とx軸、y軸との交点を求めましょう。
一般化するためにd=(AP+BP)/2、e=AB/2としておきます。
A(-e,0)、B(e,0)です。
楕円の長径、短径をそれぞれa,bとします。
楕円とx軸の交点をD(-a,0)、E(a,0)とします。
AD+BD=(a-e)+(a+e)=2a=2dなので、a=dです。
Oを中心とする半径dの円とx軸の交点がD,Eです。
楕円とy軸の交点をF(0,-b)、G(0,b)とします。
AF+BF=2dであり、AF=BFですのでAF=BF=d
Aを中心とする半径dの円とy軸の交点がF,Gです。
ではCの位置を求めましょう。
Oを通り地面に垂直な直線をVとします(CはV上の点です)。
Oを中心とする半径dの円は楕円をy軸方向にa/b倍したものになっています。
(x,y)を(x,ay/b)へと移す変換で、楕円は円に移ります。
直線Vに同様の変換をして、その直線と円の交点を求めます。
それをb/a倍すればCの位置となります。
ある線分のa/b倍の長さを求めるにはどうすればいいでしょうか。
三角形ODFは斜辺以外の2辺の長さがa,bの直角三角形です。
この斜辺に平行な直線をひけば、そのx切片、y切片の長さはa:bになります。
よって、その線分をy軸上に置いて、端点からDFに平行な直線をひけば、
x軸から切り取られる長さが求めたい長さです。
b/a倍にしたい場合は、x軸からy軸へと変換すればよいです。
具体的に作図方法を書きますと
・線分ABを延長してできる直線をX軸、Oを通りx軸と直交する直線をy軸とする
・OBの中点を求め、Aからその点までの距離30cmを計る
・Oを中心とする半径30cmの円とx軸との交点を左からD,Eとする
・Aを中心とする半径30cmの円とy軸との交点を下からF,Gとする
・Oを通り地面に垂直な直線Vを描く
・Dを通り直線DEに直交する直線と、直線Vとの交点をHとする
・Hを通り直線DFに平行な直線とx軸との交点をIとする
・Dを中心としIを通る円と直線DHの交点のうち下の方をJとする
・Oを中心としDを通る円と線分OJとの交点をKとする
・Kを通り直線ABに直交する直線と、直線Vの交点がC
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