 pc ( No.6 ) |
- 日時： 2016/01/26 13:35
- 名前： 害鳥
- 解答です．
最初の正方形に書かれている4つの数をa[0],b[0],c[0],d[0]とし，その総和a[0]+b[0]+c[0]+d[0]をSとします．
n回目の操作で書かれる4つの数をそれぞれa[n],b[n],c[n],d[n]とすると，次の漸化式を満たすことができます(満たすようにa,b,c,dを配置することができるということです)．
a[n+1]=(a[n]+b[n])/2
b[n+1]=(b[n]+c[n])/2
c[n+1]=(c[n]+d[n])/2
d[n+1]=(d[n]+a[n])/2
この4つの式を足すと
a[n+1]+b[n+1]+c[n+1]+d[n+1]=a[n]+b[n]+c[n]+d[n]
となり総和は保存されることが分かります．よって，a[n]+b[n]+c[n]+d[n]=Sです．
次に，向かい合う数同士の和もn≧1で保存され
a[n+1]+c[n+1]=(a[n]+b[n]+c[n]+d[n])/2=S/2
b[n+1]+d[n+1]=(a[n]+b[n]+c[n]+d[n])/2=S/2
です．
次に向かい合う数の差を計算すると
a[n+1]-c[n+1]=(a[n]+b[n]-c[n]-d[n])/2
b[n+1]-d[n+1]=(b[n]+c[n]-d[n]-a[n])/2
ここでa[n]-c[n]=x[n]，b[n]-d[n]=y[n]と置くと
x[n+1]=(y[n]+x[n])/2
y[n+1]=(y[n]-x[n])/2
となります．
ここで
x[n+1]+αy[n+1]=(1-α)/2(x[n])+(1+α)/2(y[n])=(1-α)/2{x[n]+(1+α)/(1-α)y[n]}
ですから，α=(1+α)/(1-α)を解いてα=±iのときに次のように整理されます．
x[n+1]+iy[n+1]=(1-i)/2(x[n]+i[y])
x[n+1]-iy[n+1]=(1+i)/2(x[n]-i[y])
このうち第1式においてx[n]+iy[n]=s[n]と置けば
s[n+1]=(1-i)/2(s[n])
という等比数列になり，一般項は
s[n]={(1-i)/2}^n(s[0])
です．
この両辺の絶対値をとると
|s[n]|=(√2/2)^n|s[0]|
ですので，n→∞で|s[n]|も0に収束します．
s[n]=x[n]+iy[n]であり，またx[n]=a[n]-c[n]，y[n]=b[n]-d[n]よりx[n]とy[n]は実数であるから，|s[n]|→0は，実部x[n]→0かつ虚部y[n]→0を意味します．
x[n]=a[n]-c[n]→0であり，かつa[n]+c[n]=S/2でしたから，a[n]とc[n]はそれぞれS/4に収束します．
同様にy[n]=b[n]-d[n]→0であり，かつb[n]+d[n]=S/2でしたから，b[n]とd[n]もそれぞれS/4に収束します．
ここでS/4=(a[0]+b[0]+c[0]+d[0])/4は最初の4数の平均値に等しいです．
以上より，答え「極限的には書かれる数字は4つとも最初の4つの数の平均値に収束する」
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