 pc ( No.8 ) |
- 日時： 2015/05/13 16:43
- 名前： 害鳥
- 解答です．
(1)膜が1枚の場合
光源から出た光量を1とする．裏面まで透過する光は次の経路をとる．
透過→偶数(0,2,4,…)回の反射→透過
これらの和は次のようになる．
α^2＋α^2×(1−α)^2＋α^2×(1−α)^4＋…
＝α/(2−α)
これは光量1の光を当てるとα/(2−α)だけ裏側まで透過することを意味しているので，通常α/(2−α)を透過率というが，ここでは実際に膜に入った光αに対して裏まで透過した光量の比1/(2−α)を実質透過率K(1)とする．K(n)でn枚重ねの膜の実質透過率を意味する．
(2)膜がn＋1枚重ねの場合
光源側のn枚(Pと呼ぶ)と，裏側の1枚(Qと呼ぶ)に分け，その境界面をRと呼ぶ．
Rをm回またいでQからP内部に入る光をT(m)，Pから外へ出る光をt(m)，PからQ内部に入る光をS(m)，Qから外へ出る光をs(m)とする．
光量の保存より，
T(m)＝t(m)＋S(m＋1)
S(m)＝s(m)＋T(m＋1)
また，実質透過率を用いて次の式が成り立つ．
t(m)＝K(n)T(m)
s(m)＝K(1)S(m)
これら4つの式からs(m)に関する漸化式を作る．
S(m＋2)
＝T(m＋1)−t(m＋1)
＝T(m＋1)−K(n)T(m＋1)
＝(1−K(n))T(m＋1)
＝(1−K(n))(S(m)−s(m))
＝(1−K(n))(1−K(1))S(m)
この両辺にK(1)を掛ければ
s(m＋2)＝(1−K(n))(1−K(1))s(m)
となる．s(1)は境界Rを1回だけ通って裏側に出てくるものだからαK(n)K(1)である．
よって，m＝2M＋1(M＝0,1,2,…)として，s(m)＝V(M)とおくと
V(M)＝αK(n)K(1){(1−K(n))(1−K(1))}^M
求めたいものは
s(1)＋s(3)＋s(5)＋…
＝V(0)＋V(1)＋V(2)＋…
＝αK(n)K(1)/{1−(1−K(n))(1−K(1))}
＝αK(n)K(1)/(K(n)＋K(1)−K(n)K(1))
n＋1枚の場合の実質透過率はしたがって
K(n＋1)＝K(n)K(1)/(K(n)＋K(1)−K(n)K(1))
となる．K(1)＝1/(2−α)を代入すると
K(n＋1)＝K(n)/{(1−α)K(n)＋1}
あとは，何項か求めてみると一般項は簡単に予想がつき，それを仮定して数学的帰納法により示せばよい．K(n)＝1/{(n＋1)−nα}である．
裏側から出てくる光の量としてはαを掛けて，α/{(n＋1)−nα}であり，これが求めるべき答えである．
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