 pc ( No.7 ) |
- 日時： 2015/04/13 16:00
- 名前： 害鳥
- 別解
I)n＝1のとき
24×5^(n−1)−1＝3×5nである．
II)n＝kのとき
24×5^(n−1)−1＝α×5n(αは5で割り切れない整数)が成り立つと仮定する．すなわち
24×5^(k−1)−1＝α×5n
である．
元の式の左辺でn＝k＋1とした
24×5^(k＋1−1)−1＝24×5^k−1
を考える．これは因数分解できて
24×5^k−1＝[24×5^(k−1)−1][{24×5^(k−1)}^4＋{24×5^(k−1)}^3＋{24×5^(k−1)}^2＋24×5^(k−1)＋1}
となる．上式右辺最初の[]内は仮定よりα×5kであるので代入して
(α×5k)[{24×5^(k−1)}^4＋{24×5^(k−1)}^3＋{24×5^(k−1)}^2＋24×5^(k−1)＋1]
また上式の[]内は5の倍数であって，さらに25の倍数ではないので，5の倍数でない整数βを用いて5βと書ける(証明略)．よって，結局
24×5^(k＋1−1)−1＝αβ×5k＋1
となり，n＝k＋1の場合でも成り立つことが分かる．
以上で示したのは，2^4×5^(n−1)−1＝α×5nとなる5の倍数でないαが存在することであるが，この両辺に2nを掛けると
2{4×5^(n−1)＋n}−2n＝α×10n
が得られる．24×5^(n−1)＋nの下n桁が2nの下n桁が同じであることを意味している．
2nの桁数はn以下であるので，更に強く
24×5^(n−1)＋nの下n桁が2nに一致する
ともいえる．
2nの桁数をf(n)とすると，f(n)＋1〜n桁目にはn−f(n)個の0が並ぶ．
本解で示したようにn−f(n)＝2015となるnは存在するので題意は示された．
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