 コメント ( No.6 ) |
- 日時： 2012/08/31 20:34
- 名前： ケンスー
- ずーっと放置されていた問題ですが、ようやく解答を公開することになりました。いまさら公開しても、覚えている方はおそらくいないし、見る方もいらっしゃらないでしょう。とはいうものの、全てはここまで放置していた自分の責任ですので、公開します。これを機に猛省し、今後はきちんとした問題管理を行っていきたいと思います（もっとも、そうあるのが当然のことなのですが）。
以下解答。
まわりくどい書き方をしていますが、この問題は次のように言い換えられます。
「一辺1の立方体の対角線を、それとねじれの位置にある辺を軸に回転させた立体の体積・表面積は？」
というもの。対角線上の各点全てを、軸を通る任意の平面上に移動させるとわかりますが、実は直線を回しているように見せかけて、全く別のとあるグラフを回す問題なのです。ちなみに、解くときには、軸からの距離さえわかれば充分なので、ねじれだとか意識する必要はありません。
（解答）
座標を設定し、直線を媒介表示、そして直線上の各点と軸の距離を計算するなどすることで、
y=(2x^2 - 2x + 1)^(1/2) (0≦x≦1)
をx軸の周りに回転する問題に置き換えることが出来る。
この立体の体積をV,側面積をS1,底面積をS2とおくと、
V=∫[0,1] πy^2 dx
=π [(2/3)x^3 - x^2 + x][0,1]
=2π/3
S1=∫[0,1] 2πy(1 + (y')^2)^(1/2) dx
=2√2π∫[0,1] (3x^2 - 3x + 1)^(1/2) dx
=4√2π∫[1/2,1] (3(x-1/2)^2 + 1/4)^(1/2) dx
(x=1/2 + ( (t-1/t) / (4√3) )で置換)
=4√2π∫[1,2+√3] (3 ( (t-1/t) / (4√3) )^2 + 1/4)^(1/2) ( (1+1/t^2) / (4√3) ) dt
=√6π/3∫[1,2+√3] ( (t+1/t)^2 / 16 )^(1/2) (1+1/t^2) dt
=√6π/12∫[1,2+√3] (t+1/t)(1+1/t^2) dt
=√6π/12∫[1,2+√3] ( t + 2/t + (1/t)^3 ) dt
=√6π/12[ 1/2 t^2 + 2log(t) - 1/2 (1/t)^2 ][1,2+√3]
={√2+(√6/6)log(2+√3)}π
S2=2*π*1^2=2π
∴S=S1+S2={2+√2+(√6/6)log(2+√3)}π
もともとは体積だけのつもりでしたが、あまりに計算が楽すぎたので、表面積も問題にしてみました 
tの関数や範囲,代入は省略していますが、実際はかなり面倒です 
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