 pc ( No.4 ) |
- 日時： 2010/01/31 00:36
- 名前： neutrino
- 他にも色々な方法があると思いますが、とりあえず2種類の証明を。一部修正・追加しました。赤い部分が該当部分です。
[証明1]
e=lim[n→∞](1+1/n)n であることを利用する。
二項定理より、
(1+1/n)n=nC0*1/n0+nC1*1/n1+nC2*1/n2+nC3*1/n3+…+nCn*1/nn
(1+1/n)n=1+1+n(n-1)/(2!n2)+n(n-1)(n-2)/(3!n3)+…+n(n-1)…2*1/(n!nn)
(1+1/n)n=1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+…+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-2)/n)(1-(n-1)/n)/n!
(1+1/n)n<1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!
(1+1/n)n<1+1+1/2+1/2*(1/31+…+1/3n-2)
(1+1/n)n=5/2+1/6*(1-1/3n-2)/(1-1/3)
(1+1/n)n=11/4-1/(4*3n-2)<3
∴e<3
[証明2]
e=lim[n→∞](1+1/n)n で、二項定理より、
(1+1/n)n=nC0*1/n0+nC1*1/n1+…+nCn*1/nn
(1+1/n)n=2+…+nCn*1/nn
3項目以降は全て正の数だから、
(1+1/n)n>1
よってe>1 であるから、
e<3 であれば1<log(3) が成り立つ。
log(3)=∫[1,3](1/x)dx であり、
関数y=1/x の2点(1,1),(3,1/3) における接線の方程式は、それぞれ
y=-x+2,y=-1/9*x+2/3
で、この2直線の交点は(3/2,1/2) である。
よって、y=1/x,x=1,x=3,x軸に囲まれた部分は、5点(1,0),(1,1),(3/2,1/2),(3,1/3),(3,0) を頂点とした五角形を内部に含んでいる。
この五角形の面積は1 であるから、
1<log(3)
∴e<3
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