nothing ( No.11 ) |
- 日時: 2010/01/06 00:25
- 名前: neutrino
- (1)
P,Q,Rはそれぞれ△ABCの内接円とBC,CA,ABの接点なので、 AQ=AR,BR=BP,CP=CQ ∴AR/RB*BP/PC*CQ/QA=AR/BP*BP/CQ*CQ/AR=1 APとBQは交わっているので、チェバの定理の逆より、AP,BQ,CRは一点で交わる。 (2) AQ+CQ=b,BR+AR=c,CP+BP=a である。また、(1)より、 AQ+CP=b @,BR+AQ=c A,CP+BR=a B @+A-Bより、 2AQ=-a+b+c ∴AQ=(-a+b+c)/2 他も同様にして、 BR=(a-b+c)/2 CP=(a+b-c)/2 (3) △PQRは必ず鋭角三角形となる。 [証明] AQ=AR,BR=BP,CP=CQ であるから、 ∠AQR=∠ARQ,∠BRP=∠BPR,∠CPQ=∠CQP 接弦定理より、 ∠RPQ=∠AQR,∠PQR=∠BRP,∠QRP=∠CPQ また、∠RAQ+∠AQR+∠ARQ=180°より、 2∠AQR=180°-∠RAQ<180° ∴∠RPQ=∠AQR<90° 同様にして、 ∠PQR<90°,∠QRP<90° よって、△PQRは鋭角三角形となる。// ところが、p2+q2=13<r2=16 となり、∠QRP>90°となるので矛盾する。 よってa は解なしとなる。 (4) (2)より、 AQ=AR=(-2+3+4)/2=5/2 BR=BP=(2-3+4)/2=3/2 また、 cosA=(-4+9+16)/(2*3*4)=7/8 cosB=(4-9+16)/(2*4*2)=11/16 cosC=(4+9-16)/(2*2*3)=-1/4 余弦定理より、 QR2=25/4+25/4-2*5/2*5/2*cosA=25/16 ∴QR=5/4 同様にして、 RP=(3√10)/8 また、sin∠QRP=sin∠CPQ=sin(90-C/2)=cos(C/2) cos2(C/2)=(1+cosC)/2=3/8 sin∠QRP>0 なので、 sin∠QRP=cos(C/2)=(√6)/4 ∴△PQR=1/2*QR*RP*sin∠QRP=(15√15)/128
(5) (4)と同様にして、 AQ=AR=(-a+b+c)/2 BR=BP=(a-b+c)/2 また、 cosA=(-a2+b2+c2)/(2bc) cosB=(a2-b2+c2)/(2ca) cosC=(a2+b2-c2)/(2ab) 余弦定理より、 QR2=((-a+b+c)/2)2+((-a+b+c)/2)2-2*(-a+b+c)/2*(-a+b+c)/2*cosA =1/2*(-a+b+c)2*(1-(-a2+b2+c2)/(2bc)) =(-a+b+c)2(a-b+c)(a+b-c)/(4bc) ∴QR=(-a+b+c)/2*√((a-b+c)(a+b-c)/(bc)) 同様にして、 RP=(a-b+c)/2*√((a+b-c)(-a+b+c)/(ca)) また、sin∠QRP=cos(C/2) cos2(C/2)=(1+cosC)/2 =(1+(a2+b2-c2)/(2ab))/2 =(a+b+c)(a+b-c)/(4ab) sin∠QRP>0 なので、 sin∠QRP=cos(C/2) =1/2*√((a+b+c)(a+b-c)/(4ab)) ∴△PQR=1/2*QR*RP*sin∠QRP =1/2*(-a+b+c)/2*√((a-b+c)(a+b-c)/(bc))*(a-b+c)/2*√((a+b-c)(-a+b+c)/(ca))*1/2*√((a+b+c)(a+b-c)/(4ab)) =(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))/(16abc) また、ヘロンの公式を変形して、 △ABC=1/4*√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)) ∴△ABC/△PQR =1/4*√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))*16abc/((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)√((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))) =4abc/((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)) ここで、-a+b+c=X,a-b+c=Y,a+b-c=Z とおくと、 a=(Y+Z)/2,b=(Z+X)/2,c=(X+Y)/2 であるから、 △ABC/△PQR=(X+Y)(Y+Z)(Z+X)/(2XYZ) =1/2*(X+Y)/X*(Y+Z)/Y*(Z+X)/Z =1/2*(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1) a,b,c は三角形の辺の長さであるから、 X>0,Y>0,Z>0 よって、相加・相乗平均の関係より、 Y/X+1≧2√(Y/X) (等号成立はX=Yのとき) Z/Y+1≧2√(Z/Y) (等号成立はY=Zのとき) X/Z+1≧2√(X/Z) (等号成立はZ=Xのとき) 辺々掛けると、 (Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)≧2√(Y/X)*2√(Z/Y)*2√(X/Z)=8 (等号成立はX=Y=Zのとき) ∴△ABC/△PQR=1/2*(Y/X+1)(Z/Y+1)(X/Z+1)≧4 よって、求める最小値は4 等号成立は、X=Y=Z より-a+b+c=a-b+c=a+b-c,即ちa=b=c のときである。 故に、このとき△ABCは正三角形である。
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