 nothing ( No.3 ) |
- 日時： 2010/01/06 00:24
- 名前： neutrino
- 座標空間を導入する。
原点にA,x軸上の正の位置にB,xy平面上のy座標が正の位置にC,z座標が正の位置にDがくるようにする。
このときA(0,0,0),B(2,0,0)
また、Cは中心がAで半径が4の円と、中心がBで半径が2√2の円との交点である。
よって、Cのx座標、y座標をそれぞれCx,Cy とすると、
Cx2+Cy2=42
(Cx-2)2+Cy=(2√2)2
これらを連立して解くと、Cx=3,Cy=√7
∴C(3,√7,0)
Dは中心がAで半径が3の球と、中心がBで半径が√2の球と、中心がCで半径が√3の球との交点である。
よって、Dのx座標、y座標、z座標をそれぞれDx,Dy,Dz とすると、
Dx2+Dy2+Dz2=32
(Dx-2)2+Dy2+Dz2=(√2)2
(Dx-3)2+(Dy-√7)2+Dz2=(√3)2
これらを連立して解くと、Dx=11/4,Dy=(11√7)/28,Dz=(√70)/14
∴D(11/4,(11√7)/28,(√70)/14)
(1)
ABの中点の座標は、(1,0,0)
CDの中点の座標は、(23/8,(39√7)/56,(√70)/28)
よって、この二点間の距離は、
√((23/8-1)2+((39√7)/56)2+((√70)/28)2)=√7
(2)
この四面体の体積は、
AB*Cy*1/2*Cz*1/3
=2*√7*1/2*(√70)/14)*1/3
=(√10)/6
(3)
この四面体の外接球の式をx2+y2+z2+ax+by+cz+d=0とおく。
点A,B,C,Dがこの球面上にあるので、
d=0
4+2a+d=0
9+7+3a+√7b+d=0
121/16+121/112+5/14+11/4*a+(11√7)/28*b+(√70)/14*c+d=0
この連立方程式を解いて、
a=-2,b=-(10√7)/7,c=(3√70)/35,d=0
よって、求める方程式は、
x2+y2+z2-2x-(10√7)/7*y+(3√70)/35*z=0
(x-1)2+(y-(5√7)/7)2+(z+(3√70)/70)2=47/10
よって、求める半径は(√470)/10
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