 nothing ( No.6 ) |
- 日時： 2010/01/06 00:21
- 名前： neutrino
- (3)
1/rn+1-1/√(rnrn+2)=Fn+12-FnFn+2 として、これが(-1)n と等しいことを示す。
n=1 のとき、F22-F1F3=12-1*2=(-1)1 であるから成り立つ。
n=k のとき成り立つと仮定して、n=k+1 のときを考えると、
Fk+22-Fk+1Fk+3
=Fk+2(Fk+1+Fk)-Fk+1(Fk+2+Fk+1)
=-(Fk+12-FkFk+2)
=(-1)k+1
故にn=k+1 のときも成り立つ。
よって、Fn+12-FnFn+2=(-1)n は全ての自然数n において成り立つ。
(4)
nが偶数のとき、P1Pn>P1Pn+1
nが奇数のとき、P1Pn<P1Pn+1
であるから、
xn=P1P2-P2P3+…+(-1)n+1PnPn+1
(1)より、PnPn+1=2√(rnrn+1)=2/(FnFn+1)
よって、(3)より、
(-1)n+1PnPn+1=2(FnFn+2-Fn+12)/(FnFn+1)
=2(Fn+2/Fn+1-Fn+1/Fn)
∴xn=P1P2-P2P3+…+(-1)n+1PnPn+1
=2(F3/F2-F2/F1+F4/F3-F3/F2+…+Fn+2/Fn+1-Fn+1/Fn)
=-2F2/F1+2Fn+2/Fn+1
=2Fn+2/Fn+1-2
ここで、x2-x-1=0 の二つの解をα,β (α>β) とすると、
Fn=((1-β)αn-1-(1-α)βn-1)/(α-β)
α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2 なので、
Fn=(αn-βn)/√5
∴Fn+2/Fn+1=(αn+2-βn+2)/(αn+1-βn+1)
分子・分母をαn+1 で割って、
Fn+2/Fn+1=α(1-(β/α)n+2)/(1-(β/α)n+1)
|β/α|<1 であるから、
lim[n→∞]xn=lim[n→∞]2Fn+2/Fn+1-2
=2α-2
=√5-1
気付いた方も多いと思いますが、Fn はフィボナッチ数列になっています。
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