 pc ( No.15 ) |
- 日時： 2009/10/09 12:28
- 名前： nn)/
＊＊＊ ３重ガラスの解答と解説 ＊＊＊
いろいろな考え方ができますが，n ≧3 のときについて，２つだけとりあげます．その後，両者の一致を確かめ，２重ガラスの結果や公比２の等比数列との関係を見ましょう．
(1) 上下の表面で反射したときのみ，仮想的入射光を考える
２重ガラスの場合と同じように，上下の表面で反射したとき，その反射点に外部から射し込む仮想的入射光を考えます．
すると，「上上」で始まる g(n-2) 通りの反射パターンと「中中…中」で終わって一度も表面反射をしない 1 通りの例外を除き，「中」が m 回続いて「上」(m が奇数) または「下」(m が０を含む偶数) のどれかで始まり，各 m ≦ n-1に対する場合の数は g(n-m-1) 通りです．よって，
g(n) = g(n-2) + 1 + g(n-1) + g(n-2) + ... + g(0)
= g(n-2) + 1 + Σ[i=0,...,n-1] g(i)
という漸化式を得ます．最後の項が g(n) 以前に出た場合の数の総数である点が面白いと思います．
(2) 中での反射にも，仮想的入射光を考える
入射光の反射パターンは，「上上」「中」「下」のどれかで始まります．２重ガラスのときと同じく，「上上」は g(n-2) 通り，「下」は g(n-1) 通りあります．
「中」については，反射点に下方からの仮想的入射光を考えます．しかし，それだけでは，すぐに「中」に入らない分の場合の数 g(n-3) を余計に数えてしまいますから，それを差し引くと，場合の数は g(n-1)-g(n-3) です．よって，
g(n) = g(n-2) + g(n-1) + g(n-1) - g(n-3)
= 2 g(n-1) + g(n-2) - g(n-3)
が得られます．ボムボムさんの解答 (>>14) も参考にして下さい．
この方法を２重ガラスの場合に適用すると，ちょうど上のガラスがないようなものですから，漸化式
f(n) = 2 f(n-1) - f(n-3)
が得られることもお分かりになると思います．
(1), (2) が同等であることの略証 (数学的帰納法できちんと書けます)
(2) より，g(n-1) = 2 g(n-2) + g(n-3) - g(n-4) なので，これを右辺の 2 g(n-1) の１つ分に代入します．そして，そのような操作を繰り返すと，
g(n) = g(n-1) + g(n-2) - g(n-3) + (2 g(n-2) + g(n-3) - g(n-4))
= g(n-2) + g(n-1) + (2 g(n-2) - g(n-4))
= g(n-2) + g(n-1) + g(n-2) + (2 g(n-3) - g(n-5))
= ...
= g(n-2) + g(n-1) + g(n-2) + ... + g(3) + (2 g(2) - g(0))
= g(n-2) + g(n-1) + g(n-2) + ... + g(3) + g(2) + g(1) + g(0) + 1
となります．ただし，最後の行には g(2) = 6, g(1) = 3, g(0) = 1 を用いています．
もちろん，２重ガラスの場合も同様に，
f(n) = f(n-1) - f(n-3) + (2 f(n-2) - f(n-4))
= f(n-1) + f(n-2) + (f(n-2) - f(n-3) - f(n-4))
= f(n-1) + f(n-2) + (f(n-3) - f(n-4) - f(n-5))
= ...
= f(n-1) + f(n-2) + (f(2) - f(1) - f(0))
= f(n-1) + f(n-2)
と，同等であることが示せます．ただし，最後の行には f(2) = 3, f(1) = 2, f(0) = 1 を用いています．
公比２の等比数列との関係
初項１公比２の等比数列の第 n+1 項を h(n) と書けば，h(n) は２つの漸化式
h(n) = 2 h(n-1) （前項の２倍）
= 1 + Σ[i=0,...,n-1] h(i) （第１項から第 n 項までの和に１を加える）
を満たします (２行目は実際に確かめてみて下さい)．
３つの数列を，２つの形の漸化式とともに並べてみると，これらの関係がよく見えます．
n = 0, 1, 2, ... に対する値
f(n): 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
h(n): 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...
g(n): 1, 3, 6, 14, 31, 70, 157, 353, 793, 1782, 4004, ...
n ≧ 2 に対する和の形の漸化式
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
h(n) = h(n-1) + h(n-2) + ... + h(0) + 1
g(n) = g(n-1) + g(n-2) + ... + g(0) + 1 + g(n-2)
n ≧ 3 に対する前項の２倍を含む漸化式
f(n) = 2 f(n-1) - f(n-3)
h(n) = 2 h(n-1)
g(n) = 2 g(n-1) + g(n-2) - g(n-3)
これらのどれからも，大きくなるスピードが f(n) < h(n) < g(n) の順に小さいことが分かります．
実際，g(n) の最初の項が，他と同じ g(0) = 1, g(1) = 2 でも，すぐに大きくなります．
1, 2, 5, 11, 25, 56, 126, 283, 636, 1429, 3211, ...
|
|
FAQ
RSS