 pc ( No.12 ) |
- 日時： 2009/10/02 17:34
- 名前： nn)/
- お待ちの方もいらっしゃるでしょうから，解答と説明を公開します．
入射光の反射の仕方
２回以上の反射で通過する場合，(問題の説明にあるように) 入射光は始めに「上上 と反射する」か「下 で反射する」かの２通りしかなく，「上下」で始まることはありません．
入射光 仮想的 入射光 n-1 回反
＼ ＼ 入射光① ＼ 射後通過
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〃〃〃＼／＼／〃〃〃〃〃〃〃〃＼〃〃〃／＼〃〃〃 ←上のガラス
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〃〃〃〃〃〃＼／〃〃〃〃〃〃〃〃＼／＼〃〃〃〃〃 ←下のガラス
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n-2 回反 ／ 仮想的
射後通過 入射光②
上上 と反射したとき
２回反射した直後の状態は，反射点に外から光が入った場合と同じです (仮想的入射光①)．計 n 回でガラスの外に出るとき，その点から n-2 回反射して出ることになり，場合の数は f(n-2) 通りです．
下 で反射したとき
１回反射した直後の状態は，反射点に下方から光が入った場合と同じです (仮想的入射光②)．計 n 回でガラスの外に出るとき，上下を入れ替えて考えれば，その点から n-1 回反射して出ることになり，場合の数は f(n-1) 通りです．
漸化式と Fibonacci (フィボナッチ) 数列
以上より，n ≧ 2 のとき，f(n) = f(n-1) + f(n-2) が成立します． この漸化式と f(0) = 1, f(1) = 2 により，数列
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
が得られ，f(3) = 5, f(8) = 55 が答です．
この数列の前に 1 または 0, 1 を付加したものは，Fibonacci 数列と呼ばれます．その数列の要素は Fibonacci 数と呼ばれ，通常 Fn と書かれますが，この数とは
Fn= f(n-2)
という関係にあります．Fibonacci 数列は，推理ものの小ネタとして出てくるだけでなく，このような物理現象や植物の葉のつき方 (葉序)・蜜蜂の系統樹などの生物現象にも見ることができます．また，黄金比と深い関係があるなど，幾何学的意味を含む面白い性質が多くあります．
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