 pc ( No.18 ) |
- 日時： 2009/10/15 15:06
- 名前： Fair
- 解説発表です。
一部、既出のコメントとかぶる部分がありますが、全体の解説なので載せておきます。
感想も募集中です♪
＜解説＞「１～３の数字が書かれたカードが３枚」「１枚につき１つの数字」とありますが、カードの数字が「１，２，３」なのか、それとも「１，１，３」だったりするのかは、これだけでは分かりません。
そこで、文章を読み進めていくと、「①～④の文のうち、・・・３つの数字について、・・・」と書いてあることが分かります。つまり、①～④が（どの数字のことかはわからないが）「３つ」の数字の説明をしていることには間違いないのです。
なので、まずは①～④を考えます。
①；①が成り立つとすると、３つの数字は「偶、奇、奇」または「偶、偶、偶」。
どちらの場合も偶数を含むので、②も成り立つことになり矛盾。
③；偶数同士、奇数同士の差は偶数になるので、差が奇数になるには、偶数と奇数の両方が必要になる。
よって③が成り立つとすると、必ず偶数が含まれるので、②も成り立つことになり、矛盾。
④；m,n,aを自然数とする。ただし、m>nである。
④が成り立つとすると、m÷n=2a
よってm=2an つまりmが偶数ということになる。偶数を含むので、②も成り立つことになり、矛盾。
逆に、②が成り立たないとすると、すべて奇数となり、①，③，④全てが成り立たなくなるので矛盾。
以上から、正しいのは②
そうすると、偶数を含み、かつ①を満たさないので偶数は２つ。
偶数が２つで、かつ③を満たさないので、最小が偶数、最大も偶数。
④を満たさないので、最大÷最小が偶数でない。
よって、３つの数字は「小さい順に偶、奇、偶」かつ「最大÷最小が奇数または割り切れない」を満たす数字ということになります。つまり偶数は２種類必要なのです。
１～３のなかに、偶数は「２」しかありません。ゆえに３つの数字には１～３以外の数字が含まれることになります。
ここで問題文に着目します。
普通ならば、誤解を招かないために、「１～３の数字が『１つずつ』書かれた」などとするはずです。しかし、この問題にはそのようなことが書かれていないので、１～３が何個書かれていても良いことになります。
つまり、２桁以上も作ることができるのです。ただ、これは「１枚につき１つの数字しか…」と矛盾しそうです。
そこで実際に紙に書いてみると、例えば「２２」は、
A;「２」が２つ書いてあると考えることもできるし、
B;「２２」という１つの数字が書いてあると考えることもできます。
「整数１～３の・・・」がAの考え方をし、「１つの数字しか…」が視点を変えてBの考え方をしている、と考えると、２２は「整数…」「１つの…」の両方の条件をクリアしていることになります。そもそも、「２つの数字の間の距離が何ｍｍ以内だと２桁」といった定義はありません。
よって２桁も問題ないことになります。
あとは、和が最小となる組み合わせです。
まず、作ることができる最小の偶数は「２」なので、「２」を最小の偶数として考えてみます。
奇数については特に条件がないので、「２」の次に大きい「３」で確定。
１～３を組み合わせて偶数とするには、「２」を一の位にする必要があります。
そうすると、次に大きい偶数は「１２」です。しかし、１２÷２＝６（偶数）なので、条件を満たしません。
「１２」の次に大きい偶数は「２２」です。２２÷２＝１１（奇数）なので、これは条件を満たします。
以上から、「２」を最小の偶数としたときの、和が最小である組み合わせは「２と３と２２」です。
このとき、和は２＋３＋２２＝２７
次に、「１２」を最小の偶数として考えてみます。
ここで、１２＋１２＋１２＝３６＞２７なので、「１２」が最小の偶数であるとき、３つの数字の和は２７より大きくなります。
よって、求める３つの数字は２と３と２２です。
「８」を「３が２つ書いてある」と表現したり、「十」を「１が２つ書いてある」と表現したりする人がいたら、「２と３と１８」や「２と３と十（１０）」になってしまいますが…
＜別解＞「１～３の数字が書かれた」ということから、「１，２，３すべてを使っている」と解釈することもできるので、１，２，３がそれぞれ少なくとも１回は使われているような組み合わせを考えるのもありです。
「２と３と２２」では「１」が使われていないので、真ん中の「３」を違う数字にしてみます。
「３」の次に大きいのは「１１」です。しかし、「１１」だと今度は「３」が含まれないことになります。
「１１」の次に大きいのは「１３」です。
「２と１３と２２」ならば、１，２，３がすべて含まれることになります。
よって、求める３つの数字は２と１３と２２
＜真の本解＞（ボムボムさんからのご指摘です>>19）
指数を考えます。
偶数を２m(mは自然数)とした時、２mのn乗(nは２以上の自然数)は2nmn
これを２で割ると2n－1mn(偶数)となるので、最小の偶数は２より大きい数を考えます。
２より大きい偶数を小さい順に並べると２２、２３、１２、・・・なので、最小を２２＝４としてみます。
ここで、２３÷４＝２(偶数)、１２÷４＝３(奇数)なので、最大の偶数は１２です。
４と１２の間の奇数は３２（＝９）または１１なので、３２に決定。
そうすると２２＋３２＋１２＝２５
次に、２３＝８を最小の偶数としてみます。
ここで、８＋９＋１０＝２７＞２５なので、８を最小の偶数としたとき、和は２５よりも大きくなります。
よって、求める３つの数字は２２と３２と１２
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