nothing ( No.21 ) |
- 日時: 2010/01/06 00:15
- 名前: neutrino
- 円錐の母線の長さは、三平方の定理より、
√(52+122)=13 ここで、底面の直径をAB、円錐の母線をAO,BOとした△ABOを考える。 AからBOに下ろした垂線の足をHとし、OH=x とおくと、三平方の定理より、 132-x2=102-(13-x)2 ∴OH=x=119/13,BH=13-x=50/13,AH=√(132-x2)=120/13 Oを通りBOに垂直な直線上に点Pをとり、Pを通りOPに垂直な直線とAB,AOとの交点をそれぞれC,Dとする。 OP=h とおくと、 CD:13=(120/13-h):120/13 ∴CD=13-169/120*h PD:119/13=h:120/13 ∴PD=119/120*h (10-BC):10=(120/13-h):120/13 ∴BC=13/12*h OPに垂直な平面をQ、Qと円錐の底面の円周との交点のうちの一つをEとすると、三平方の定理より、 CE2=52-(5-BC)2 =10BC-BC2 =65/6*h-169/144*h2 PE2=PC2+CE2 =(CD+PD)2+CE2 =169-h2 よって、円錐を転がしてできる立体をQで切ったときの断面積は、 πPE2-πPD2 =π(169-28561/14400*h2) 故に、この立体の体積は、 ∫[0,120/13]π(169-28561/14400*h2)dh =π(169*120/13-28561/43200*(120/13)3) =1040π
できる立体は、半径13の半球を断面に平行な平面で断面から120/13の距離で切断し、さらにその断面を底面、半球の中心を頂点とした円錐で切り取ったものとなります。
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