 nothing ( No.21 ) |
- 日時： 2010/01/06 00:15
- 名前： neutrino
- 円錐の母線の長さは、三平方の定理より、
√(52+122)=13
ここで、底面の直径をAB、円錐の母線をAO,BOとした△ABOを考える。
AからBOに下ろした垂線の足をHとし、OH=x とおくと、三平方の定理より、
132-x2=102-(13-x)2
∴OH=x=119/13,BH=13-x=50/13,AH=√(132-x2)=120/13
Oを通りBOに垂直な直線上に点Pをとり、Pを通りOPに垂直な直線とAB,AOとの交点をそれぞれC,Dとする。
OP=h とおくと、
CD:13=(120/13-h):120/13
∴CD=13-169/120*h
PD:119/13=h:120/13
∴PD=119/120*h
(10-BC):10=(120/13-h):120/13
∴BC=13/12*h
OPに垂直な平面をQ、Qと円錐の底面の円周との交点のうちの一つをEとすると、三平方の定理より、
CE2=52-(5-BC)2
=10BC-BC2
=65/6*h-169/144*h2
PE2=PC2+CE2
=(CD+PD)2+CE2
=169-h2
よって、円錐を転がしてできる立体をQで切ったときの断面積は、
πPE2-πPD2
=π(169-28561/14400*h2)
故に、この立体の体積は、
∫[0,120/13]π(169-28561/14400*h2)dh
=π(169*120/13-28561/43200*(120/13)3)
=1040π
できる立体は、半径13の半球を断面に平行な平面で断面から120/13の距離で切断し、さらにその断面を底面、半球の中心を頂点とした円錐で切り取ったものとなります。
|
|
FAQ
RSS