 nothing ( No.3 ) |
- 日時： 2009/08/30 18:36
- 名前： nn)/
- 等式 [loga [x]] = [loga x] (ただし，a > 1, x ≧ 1) を (A) と表すと，
(A) が成立する必要十分条件は a が２以上の整数であることである．
証明
(1) a > 1 を整数でないとする．
すると，1 ≦ [a] < a であり， 0 ≦ loga [a] < loga a = 1 であるから，
[loga [a]] = 0, [loga a] = 1 より， x = a のとき (A) が成立しない．
よって， a が整数であることは，(A) が成立するための必要条件である．
(2) a を２以上の整数とする．
a が整数であれば x = ak (k は任意の非負整数) も整数であるから，
ak ≦ x < ak+1 のとき，ak ≦ [x] < ak+1 である．
よって，[loga [x]] = [loga x] = k より， (A) が成立する．
全ての k ≧ 0 について，上が成立するから，任意の x ≧ 1 について (A) が成り立つ．
つまり，a が整数であることは，(A) が成立するための十分条件でもある．
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