 pc ( No.9 ) |
- 日時： 2009/07/16 14:05
- 名前： nn)/
fyhさんの投稿以降，５日以上経ちました．
投稿予定の方には申し訳ありませんが，解答を公開します．
(1) 一般に m≧0, m'>0, n>0, n'>0, m/n < m'/n' ならば，mn' < m'n であり，
(m+m')/(n+n') = (mn' + m'n')/((n+n') n') < (m'n + m'n')/((n+n') n')
= m'(n +n')/((n+n') n') = m'/n'.
(m+m')/(n+n') = (mn + m'n)/((n+n') n) > (mn + mn')/((n+n') n)
= m(n +n')/((n+n') n) = m/n.
である．よって， m/n < (m+m')/(n+n') < m'/n' と，分母・分子同士の加算で
作られた分数は，元の２つの分数の間の値を持つ．したがって，最初の２分数が
0/1 < 1/1 であるから，この過程で作られるすべての分数は，その値の順に並ぶ．
(2) 分数を作る各過程 (すなわち各行で) で隣り合う分数を m/n < m'/n' とする
とき，常に m'n - mn' = 1 (*) が成立することを示す．
まず， m = 0, m' = n = n' = 1 のとき， 明らかに (*) が成り立つ．
次に， (*) が成り立つと仮定して， m"= m+m', n"= n+n' とすると，
(1) から m/n < m"/n" < m'/n' であり，
m"n - mn" = (m+m')n - m(n+n') = m'n - mn' = 1,
m'n"- m"n'= m'(n+n') - (m+m')n' = m'n - mn' = 1
より，新たに生成した分数列についても (*) が成立する．よって，帰納法により，
全ての段階で (*) が成り立つ．
(*) の左辺は m と n の最大公約数の倍数であるが，右辺が１であることから，
その最大公約数は１でなければならない．m' と n' についても同様である．
したがって，m/n および m'/n' は既約分数である．
(3) 隣り合う分数を m/n < m'/n' とし， m/n < a/b < m'/n' ならば，
an - bm ≧ 1, bm' - an' ≧ 1 であるから，
(m'+n')(an - bm) + (m+n)(bm' - an') ≧ m'+n'+m+n.
この左辺は
(m'+n')(an - bm) + (m+n)(bm' - an') = (a+b)(m'n - mn') = a + b
であるから， a + b ≧ m'+n'+m+n が成り立つ．
もし，ずっと a/b = m"/n" とならなければ，挟む２分数は m/n と m"/n" の組，
または，m"/n" と m'/n' の組に変わり，
(m"+n")+(m+n) ≧ m'+n'+m+n+1, (m'+n')+(m"+n")≧ m'+n'+m+n+2,
であるから，間の分数生成を繰り返すと，やがて a + b ≧ m'+n'+m+n が成立しな
くなる．これは矛盾であるから，a+b 回未満の繰り返しで，必ず a/b が現れる．
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