ｸｲｽﾞ大陸
千夜一夜
問題文を読む(1932 文字)
| ◎解答・解説 | 【 問い１： 別解もあるようですけれども、私のお気に入りは以下の通り、シンプルです。 重い団子が７個あるのか８個あるのか、二者択一です。 これを、別な意味に置き換えます。すなわち。 １５個中、重い団子の個数を３で割ったときの余りは１個でしょうか、はたまた、２個なのでしょうか。 重い団子の個数が７個であれば、３で割ったときの余りは１個ですし、重い団子の個数が８個であれば、３で割ったときの余りは２個なのです。 重い団子の個数を３で割ったときの余りの個数を、天秤使用１０回で調べる方法があります。次に記します。 １５個の団子を３個づつ、５グループに分けます。 各グループごとに、そのなかの重い団子の個数を３で割ったときの余りの個数を調べます。 ひとつのグループに含まれる重い団子の個数のバリエーションは、０個、１個、２個、３個です。従いまして、重い団子の個数を３で割った余りの個数のバリエーションは、０個、１個、２個に限られます。 ひとつのグループについて天秤を２回使えば、この０個、１個、２個のどれであるのかについて容易に判定できます。 グループにはいっている団子を Ｊ、Ｋ、Ｌとしましょう。 ＪとＫとの重さを比べ、ＪとＬとの重さを比べる、あわせて２回の天秤の使用で、このグループ内の重い団子の個数について情報が得られます。３つのケースが考えられます。 ①Ｊ、Ｋ、Ｌが全て同じ重さならば、重い団子の個数は０または３です。重い団子の個数を３で割った余りの個数は０です。 ②Ｊ、Ｋ、Ｌのなかにひとつだけ重い団子があるばあい、重い団子の個数を３で割った余りの個数は１です。 ③Ｊ、Ｋ、Ｌのなかにふたつ重い団子があるばあい、重い団子の個数を３で割った余りの個数は２です。 このように、ひとつのグループについて天秤を２回使えば、その中に含まれる重い団子の個数を３で割ったときの余りが、０個、１個、２個のどれであるのかについて簡単に判定できます。 全部で５グループありますので、天秤を１０回使えば、各グループ内に含まれる重い団子の個数を３で割ったときの余りを、全て突き止めることができます。 ここまでで天秤の使用はオシマイです。 最後に、各グループごとに調べた余りの個数を全部足し算して、得られた総和を更に３で割った余りの個数を求めます。 これが２ならば、１５個中の重い団子の個数は８、１ならば１５個中の重い団子の個数は７、と判明します。 ※天秤パズルにありがちな、天秤の傾きごとに調査手段が複雑に分岐していくようなことがありませんので、私は問１についてのこの解法がとてもお気に入りなのです。 ――― 問い２ 別解の存在が知られておりますが、私の *お気に入り* の想定解を御紹介いたします。 １５個の団子を３個づつ、５グループに分けます。 これらの中に、重い団子が何個づつ入っているかについて、全可能性を数えあげると、１２通りになります。一覧を書いておきます。 00133 00233 00223 01133 01123 01223 01222 11123 11113 02222 11122 11222 この一覧にある各要素は、重い団子が少ない順に並べてあります。 縦二列になっていますが左の列は重い団子が１５個中７個になっていて、右の列は重い団子が１５個中８個になっています。 天秤使用を８回以内で、重い団子が７個なのか８個なのかについて知りたいときに、上記の一覧は、大きな手掛かりになります。 その目的のため、一覧表にデータを補強して整理します。 AABCC 00133 7 AABBC 00223 7 ABBCD 01123 7 ABCCC 01222 7 AAAAB 11113 7 AAABB 11122 7 AABCC 00233 8 ABBCC 01133 8 ABCCD 01223 8 AAABC 11123 8 ABBBB 02222 8 AABBB 11222 8 右端の7または8は重い団子の総数です。これを知りたいわけです。 左端のABCDなどの記号列は、5グループのなかで互いに重さが一致しているかどうかを見るための鍵となります。 たとえば、 ABBCC 01133 8 を見ると、5グループのなかに重さの種類が３種類（0,1,3）あり、そして、軽→重の順に並べると、一番軽いグループが１グループ（A）、中くらいの重さのものが２グループ(B)、一番重いものが２グループ(C)あることを意味しています。 さて。 鍵を見ればほとんどの場合に、全体で重い団子が何個あるのかについて確定しています。具体的には、 AABBC 00223 7 ABBCD 01123 7 ABCCC 01222 7 AAAAB 11113 7 AAABB 11122 7 ABBCC 01133 8 ABCCD 01223 8 AAABC 11123 8 ABBBB 02222 8 AABBB 11222 8 この10種類の鍵については、一意に、7か8かがわかります。 その一方、鍵を知るだけでは7と8との区別がまだつかないのが下記のものです。 AABCC 00133 7 AABCC 00233 8 これの解決方法については説明の都合上、後述します。 中間まとめ。 １５個の団子を５グループにわけて重い団子の分布を知れば、それを鍵として、一寸法師先生が食べた団子が甘かったかしょっぱかったかを知ることに大きく前進することができる、ということになります。 では、 《重い団子の分布を知る》にはどうしたらよいでしょうか。 実は【別途に私が出題済みの】問題、すなわち《木火土金水》の解法をそのまま使えば良いのです。 ５グループの間で、重さの序列を決定するためには、最大７回の天秤使用でことたりる、というのが《木火土金水》での結論なのでした。 これを使えば、私たちは先程から話題にしている《鍵》を入手できます。 その鍵が「AABCC」でさえなければ、既にあげてある一覧表を見ることで15個中の重い団子の個数がこれで解決しました。 ここまで天秤は７回使っています。 鍵が「AABCC」のときには、天秤をあと１回だけ使うことで、 AABCC 00133 7 AABCC 00233 8 のどちらであるのかについて決定できます。 その方法は簡単です。 Bのグループに重い団子が１個あるのか、２個あるのか、どちらであるかを判定したいのです。 Aのグループは軽い団子のみからなっていますので、こちらから2個を取りだします。次に、Cのグループは重い団子のみからなっていますので、こちらから1個を取りだします。 こうして取り出した3個をまとめてグループとし、改めてXと呼びましょう。Xのなかには重い団子が１個はいっています。 グループBとグループXとを天秤で比較します。 釣り合えば B には重い団子が１個はいっています。 釣り合わなければ、必ず X よりも B のほうが重く、 B には重い団子が２個はいっています。 以上で 天秤を１回だけ使うことで、 AABCC 00133 7 AABCC 00233 8 の区別がつくことの説明が終わりました。 総まとめ。 とどのつまり、天秤を最大でも８回使うことにより、１５個の団子を５グループにわけて重い団子の分布を知れば、それを鍵として、一寸法師先生が食べた団子が甘かったかしょっぱかったかを知ることができます。 ―― 以下、余談です。 問１でも問２でも、想定解は、３個づつ５グループに分けるという共通点がありました。一方において相違点もあります。 問１では、グループ内の団子どうしで【のみ】天秤を使う、他グループの団子どうしでは天秤を使わないのでした。 問２ では、問１とは好対照でして、同一グループ内の団子どうしでは全く天秤を使いません。 多分…なのですが… 天秤を使わない対象を作っているので、天秤使用回数を節約できているのではないかと当初は思ったのですが… 手元にある、天秤６回で済ます解法は、もうちょっと綺麗じゃないやり方をしています。 木火土金水による判定を最後までやりきらず途中までやっておいて、この途中経過を全８パターンに分類し、各パターンごとに最短手順で攻略する、というものなのでした。 かなり面倒ですし面白味がありません。 】 |
スローガン：囁き欄あり（答えがわかったら皆に内緒で囁いてね！）
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