ｸｲｽﾞ大陸
具無しのとんぺい
問題文を読む(1564 文字)
| ◎解答・解説 | 【最大面積: (3-2√2)/4 直角二等辺三角形の時に面積最大となります。 解答例① ・直角三角形の3辺の長さをa,b,c(cは斜辺)とします。 a^2 + b^2 = c^2 a + b + c = 1 から、 面積S = ab/2 = (1-2c)/4 を得ます。 ・次にcの最小値を求めます。 鋭角の1つをθ(0°<θ<90°)とおくと、3辺の長さはc,csinθ,ccosθとなるので、 c + csinθ + ccosθ = 1 より、 c = 1/(1 + sinθ + cosθ) = 1/{1 + √2sin(θ+45°)} (∵三角関数の合成) よって、θ = 45°のとき、cは最小値1/(1+√2)をとるので、このとき、直角三角形は 最大面積(3-2√2)/4 をとります。 解答例② 斜辺cと鋭角θだけをおいてから、周の長さ1の条件でcを除去し、面積Sをθで表して微分で極大値を算出。 というオーソドックスな方法でも求められます。 ただし、このままでは計算が煩雑になるので、Sをθで表した後、 θ= 45°+α (-45°<α< 45°)とおいてαで表しなおすと微分計算が非常に楽になります。 (この置き換えを思いつくには答えが直角二等辺三角形になるという予想がたっていないと難しいかもしれないです。) これにより、最終的に S = (√2 * cosα - 1)/4(√2 * cosα + 1) まで式を簡単にでき、微分計算の結果、α= 0°(つまりθ= 45°)で面積最大となることが分かります(計算略)。 他の解答例に関してはスレ参照。】 |
スローガン：囁き欄あり（答えがわかったら皆に内緒で囁いてね！）
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PDJ (6 文字)
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