ｸｲｽﾞ大陸
害鳥
問題文を読む(960 文字)
| ◎解答・解説 | 【自然数Nについて，1〜[N/2]までとNが約数候補．つまり約数は最大で1+[N/2]個であり，約数率PはP={1+[N/2]}/N (1) Nを奇数に限ればp={1+(N-1)/2}/N=1/(2N)+1/2 一方で，候補のうち実際の約数から1つ外れるたびに1/Nずつ約数率は下がる．よって，1つも外れなければ1/(2N)+1/2＞1/2であるが，1つでも外れると1/(2N)+1/2-1/N=1/2-1/(2N)となり1/2を下回る．奇数の場合，偶数は確実に約数ではないので候補に偶数が2つ以上入る9(約数候補は1,2,3,4,7で偶数候補が2,4の2つある)以上の奇数については確実に約数率が1/2を下回る．残りの1,3,5,7について考えれば，それぞれ1,2/3,2/5,2/7であり，以上をまとめると5以上の奇数はすべて約数率が1/2未満である． {a[n]}=1,3,5,7,…という奇数列であり，5=a[3]以降で問題の命題が成り立つ。よって 答：[ ア ]=3． (2) nを偶数に限ればp=1/N+1/2 約数候補は1,2,3,…N/2-1,N/2，及びN自身である． N/2-kが約数でない条件を求める．(N/2-k)s=Nとなる約数s=2N/(N-2k)を考えると，これはNが大きくなるにしたがって2を下限として単調減少する．よって，これが3未満となるNにおいては確実に約数でないことが保証される． 3＞2N/(N-2k)を整理してN＞6k． よって偶数Nに対して，既存の約数候補から更に[(N-1)/6]個だけ候補が減る． よって約数率の最大値は1/N+1/2-[(N-1)/6]/N．これは単調減少であり，極限値は1/3なので，あるN以上では約数率が高々5/12となるNが存在する． 1/N+1/2-(N-1)/(6N)＜5/12を解いてN＞14． よってN≧16であれば約数率は5/12未満である． 今，{q[n]}=2,4,6,…という偶数列なので，16=q[8]以降であれば約数率は確実に5/12未満． 残りの2,4,6,8,10,12,14について考えれば、約数率はそれぞれ1,3/4,2/3,1/2,2/5,1/2,2/7． よってn≧7で5/12未満． 答：[ イ ]=8 (3) 3〜t-1までのいずれの約数でもない偶数のみに絞って考える．(2)同様，N/2-kがNの約数でない条件を求める．(N/2-k)s=Nとなる約数s=2N/(N-2k)を考えると，これはNが大きくなるにしたがって2を下限として単調減少する．今Nは3〜t-1までの約数ではないので，これがt未満となるNにおいては確実に約数でないことが保証される． t＞2N/(N-2k)を整理してN＞{2t/(t-2)}k． よって3〜t-1までの約数でない偶数Nに対して，既存の約数候補から更に[N(t-2)/(2t)]個だけ候補が減る． よって約数率の最大値は1/N+1/2-[N(t-2)/(2t)]/N．これは単調減少であり，極限値は1/tなので，あるN以上では約数率が高々1/(t-1)となるNが存在する． 1/N+1/2-[N(t-2)/(2t)]/N＜1/2016を解くとN＞4066272． よって3〜2016の倍数でない偶数Nであって，4066272よりも大きいものであれば，その約数率は1/2016未満となる． このような数の数列として，初項2，公差2016!の数列がある．これらが3〜2016のいずれでも割れず，また偶数であることは明らか． 第2項は2+2016!＞11!＞4066272であるので，この数列の第2項以降の約数率はすべて1/2016未満．よって一例として 答：[ ウ ]=2016!，[ エ ]=2】 |
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豆腐 (2 文字)
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