ｸｲｽﾞ大陸
ゆりあ
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| ◎解答・解説 | 【n＝1のとき 1＜a[1]＝√2＜2 が成り立つ ここで、n＝kのとき 1＜a[k]＜2 と仮定すると 1＜√2^1＜a[k+1]＝√2^a[k]＜√2^2＝2 なので、数学的帰納法により 任意のnについて 1＜a[n]＜2 が成り立つ ここで、f(x)＝log(x)/x とおくと、f'(x)＝(1−logx)/x^2 であり、 1＜x＜2 のとき、f'(x)＞0 なのでf(x)は単調増加関数であり、 f(2)＝log2/2であることから、 logx/x≦log2/2 すなわち x^2≦2^x よって、1＜x＜2 においては x^2＜2^x なので、1＜an＜2 よりxにa[n]を代入して a[n]^2≦2^a[n]＝a[n+1]^2 よって a[n]≦a[n+1] 以上より、a[n]は有界な単調増加数列なので、収束してその極限値lim anを持つ。 十分大きなnにおいてlim an＝lim a[n+1]が成り立ち、これをAとおくと A＝lim a[n+1]＝lim √2^a[n] ＝√2^A 1＜A＜2なので、A＝√2^A をといて A＝2 】 |
スローガン：囁き欄あり（答えがわかったら皆に内緒で囁いてね！）
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