ｸｲｽﾞ大陸
I.T
問題文を読む(523 文字)
| ◎解答・解説 | 【任意の数列（自然数）をBとする。 また、ｍを0以上の整数とする。 素直ver B*10^m≦an<(B+1)*10^m ･･･① となるm,nの組が存在すれば、Aは数列Bを含む。 B=0のとき、n=0、m=1のとき①は成り立つ。 B≠0のとき、①をnについて解くと、m>0とすれば、 √{(B*10^m-47/12)/3}-1/6≦n<√{((B+1)*10^m-47/12)/3}-1/6 …② となる。 右辺-左辺 =f(m)とすると、 f(m) = √{((B+1)*10^m-47/12)/3}-√{(B*10^m-47/12)/3} = (10^m/3)/{√{((B+1)*10^m-47/12)/3}+√{(B*10^m-47/12)/3}} = (√10^m/3)/{√{(B+1-47/(12*10^m))/3}+√{(B-47/(12*10^m))/3}} より lim(m→∞)f(m) = ∞ よって十分大きいｍに対して、②を満たす自然数nが存在する。 以上から、Aが任意の数列Bを含むことが示された。 背理ver anがBを含まないと仮定すると、全てのmに対して an<B*10^m、(B+1)*10^m≦a(n+1) を満たす整数ｎが存在する。 よって、全てのmに対して、 (B+1)*an<B*(B+1)*10^m≦B*a(n+1) …③ を満たす整数nが存在する。 ここで、中辺をmの関数、右辺をnの関数と見ると、両者とも増加関数であり、明らかにnは無限に発散する。 このとき、n>0とすれば、 (B+1)*an＜B*a(n+1) (B+1)<B*a(n+1)/an 両辺のn→∞の極限をとれば、 左辺→(B+1) 右辺→B となり、十分大きいnに対して矛盾する。 したがって、全てのmに対して③が成り立つことはないので、数列Bを含むanが存在する。 以上から、Aが任意の数列Bを含むことが示された。 】 |
スローガン：囁き欄あり（答えがわかったら皆に内緒で囁いてね！）
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けんぎ (18 文字)