ｸｲｽﾞ大陸
ごみ
問題文を読む(363 文字)
| ◎解答・解説 | 【m=max_[f∈B]|A_f| とおく。 当然、m≦pであるといえる。 m=pであると仮定する。 このとき、あるf∈Sym(F_p)が存在して、 |A_f| = p が成立している。 すぐわかるように、f(0)=0である。 よって、A=A_f＼{0} とおくと、 A = (F_p)* であり、 Π_[y∈A]y = (p-1)! = -1 がいえるが、一方、 Π_[y∈A]y = Π_[x∈A]x*f(x) = {Π_[x∈A]x}*{Π_[x∈A]f(x)} = (p-1)!*(p-1)! = (-1)*(-1) = +1 これは明らかに矛盾である。 したがって、m≦p-1 がいえた。 次に、|A_f| = p-1 を満たすような f∈Sym(F_p)の存在を示す。 これがいえれば、m≦p-1とあわせて、 m=p-1 であることがいえたとなる。 次のようにf:F_p→F_pを定めればよい。 [fの定義] f(0)=0, f(-1)=1として、 各x∈F_p＼{0,-1}に対して、 f(x)=(x+1)/x と定める。 このようにfを定めると、 f∈Sym(F_p)であることがいえて、 |A_f| = p-1 であることが確認できる。】 |
スローガン：囁き欄なし（クイズの真髄！熱き合戦をもう一度）
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