分母が1のものを認めると、次のような形になります。
◯ ◯ ◯
◯＝◯＋ー＋ー＋ーー
◯ ◯ ◯◯
使える数字は023456789です。
1の分子には0も入るので、二つの場合に分けて考えます。
（その１）
1の分子に0が入った場合。
結局その部分は無視できるので、
◯ ◯ ◯
◯＝ー＋ー＋ーー
◯ ◯ ◯◯
で、使える数字が2~9という問題になります。
（その２）
1の分子に0が来なかった場合。
この場合は上で考えてきたのと同様、0が入る位置は二桁の数字の一の位のみで、このことから5の入る位置も決まります。
◯ ◯ ◯
◯＝◯＋ー＋ー＋ーー
◯ ５ ◯０
使える数字は、こちらは2~4,6~9となります。
考え方は上と同様で、「既約分数の足し算をした後で消える可能性があるのは公約数だけ」という事実を使っていきます。
（その１）
◯ ◯ ◯
◯＝ー＋ー＋ーー
◯ ◯ ◯◯
（使える数字は23456789）この場合は結構めんどくさいです
まず因数5や7を含んだ数字が分母に来ないことを確かめます。
（仮定１）因数5を持つ分母がある場合。
因数5を消すために、二つの分母に因数が含まれるので、一桁の分母の少なくとも一つに5が入ります。
これに必ず5を使うことになります。
ところが、残った数字で因数5を持つ数字は作れませんね。
0があれば二桁の数字で「?0」というのを作れたのですが…
ともかく、因数5が含まれることはありません。
（仮定２）因数7を持つ分母がある場合。
この場合は上と同様で少なくとも7が一桁の分母に入ります。
残った数字で因数7を持つ二桁の数字を作ってみると、
「28,35,42,49,56,63,84,98」
が作れます。
このうち49だけは例のNo.7の（２）から因数7が消えません。
これ以外のそれぞれについて、「?/7+?/??」と計算して因数7を除いたときに残った分数は
「4,5,6,8,9,12,14」
です。
ところが残る分数は分母が一桁なので、当然二桁で残ってしまってはいけません。
さらに、残る分数の分母に使う数字が二桁の分母の数字と重複しては行けません。
以上から「35,84,98」は不可です。
後は一つずつ見ていきましょう。
「?/4+?/7+?/28」の場合、残る数字は3569です。
「?/7+?/28」で因数7が消せるのは、「3/7+9/28=21/28=3/4」だけなので、右辺を整数にするには4の分子は5となります。
右辺を計算すると「3/4+5/4=2」ですが、残る数字は6なので成立しません。
「?/6+?/7+?/42」の場合、残る数字は3589です。
「?/7+?/42」で因数7を消せる分子の組み合わせはこの中にはありません。
「?/8+?/7+?/56」の場合、残る数字は2349です。
「?/7+?/56」で因数7が消せるのは、「4/7+3/56=35/56=5/8」だけです。
残りのうち、8の分子には9しか入らないですが、因数8が消えないので不適です。
「?/9+?/7+?/63」の場合、残る数字は2458です。
「?/7+?/63」で因数7が消せるのは、「5/7+4/63=49/63=7/9」「8/7+5/63=77/63=11/9」の二つです。
残った数字を入れて右辺が整数になるのは、「2/9+7/9=1」だけですが、これだと左辺に残った8とは一致していませんので、これも不適です。
以上より因数7も分母に入ることはありません。
したがって（仮定１、２）は間違いで、右辺の二桁の分母は一桁の分母と足し算して因数を消すことから、因数2,3だけで形成されていることになります。
23456789を使って因数2と3だけの積で表されている二桁の数字を作ってみると下のようになります。
「24,27,32,36,48,54,64,72,96」
このうちNo.7（２）から次のものは候補として除けます。
「27=3^3、32=2^5、48=(2^4)*3、54=2*(3^3)、64=2^6、96=(2^5)*3」
（意外に減りますね
）
残るのは24,36,72ですので、それぞれ一つずつ見ていきましょう。
（ア）二桁の分母が24のとき。
24=2*2*2*3ですので、因数3を消すには3か6です（9は3*3なので例の法則から消せませんね）。
いずれの場合でも、因数は3しか消えません。
分母に6を使った場合でも、因数2が24/6=4にも含まれているためです。
どちらにせよ因数3を除いた結果、分母は8なので、残りの一桁の分母は8と決まります。
「?/8+?/3+?/24」か「?/8+?/6+?/24」です。
まず後者の場合、残っている数字は3579であり、右辺の最大値は
?/8+?/6+?/24 < 9/8+9/6+9/24 = (27+36+9)/24=3
なので、左辺に当てはまる数字がなく不適。
前者の場合、残っている数字は5679なので、右辺の最大値は
?/8+?/3+?/24 < 9/8+9/3+9/24 = (27+72+9)/24=9/2<5
なので、こちらも左辺に当てはまる数字がなく不適。
（イ）二桁の分母が36のとき。
36=4*9ですので、残った分母は4と9と決まります（これも例の法則からですね）。
「?/4+?/9+?/36」で、残りの数字は2578です。
「?/4+?/36」に当てはまるのは「5/4+7/36=52/36=13/9」「7/4+5/36=68/36=17/9」の二つ。
残った数字を9の分子に持って来ても左辺は整数にならないので不適。
（ウ）二桁の分母が72のとき。
72=8*9ですので、残った分母は8と9で決まりです（以下同文）。
「?/8+?/9+?/72」で、残りの数字は3456です。
互いに素になるように作ると「3/8+4/9+5/72」しか許されないが、計算結果は「(27+32+5)/72=64/72=8/9」で不適。
以上から「0/1」の形を含んだ場合には解は存在しないことが分かりました。
（その２）
◯ ◯ ◯
◯＝◯＋ー＋ー＋ーー
◯ ５ ◯０
は次回に
こちらには別解が存在しています。
◯ ◯ ◯
◯＝◯＋ー＋ー＋ーー
◯ ◯ ◯◯
使える数字は023456789です。
1の分子には0も入るので、二つの場合に分けて考えます。
（その１）
1の分子に0が入った場合。
結局その部分は無視できるので、
◯ ◯ ◯
◯＝ー＋ー＋ーー
◯ ◯ ◯◯
で、使える数字が2~9という問題になります。
（その２）
1の分子に0が来なかった場合。
この場合は上で考えてきたのと同様、0が入る位置は二桁の数字の一の位のみで、このことから5の入る位置も決まります。
◯ ◯ ◯
◯＝◯＋ー＋ー＋ーー
◯ ５ ◯０
使える数字は、こちらは2~4,6~9となります。
考え方は上と同様で、「既約分数の足し算をした後で消える可能性があるのは公約数だけ」という事実を使っていきます。
（その１）
◯ ◯ ◯
◯＝ー＋ー＋ーー
◯ ◯ ◯◯
（使える数字は23456789）この場合は結構めんどくさいです
まず因数5や7を含んだ数字が分母に来ないことを確かめます。
（仮定１）因数5を持つ分母がある場合。
因数5を消すために、二つの分母に因数が含まれるので、一桁の分母の少なくとも一つに5が入ります。
これに必ず5を使うことになります。
ところが、残った数字で因数5を持つ数字は作れませんね。
0があれば二桁の数字で「?0」というのを作れたのですが…
ともかく、因数5が含まれることはありません。
（仮定２）因数7を持つ分母がある場合。
この場合は上と同様で少なくとも7が一桁の分母に入ります。
残った数字で因数7を持つ二桁の数字を作ってみると、
「28,35,42,49,56,63,84,98」
が作れます。
このうち49だけは例のNo.7の（２）から因数7が消えません。
これ以外のそれぞれについて、「?/7+?/??」と計算して因数7を除いたときに残った分数は
「4,5,6,8,9,12,14」
です。
ところが残る分数は分母が一桁なので、当然二桁で残ってしまってはいけません。
さらに、残る分数の分母に使う数字が二桁の分母の数字と重複しては行けません。
以上から「35,84,98」は不可です。
後は一つずつ見ていきましょう。
「?/4+?/7+?/28」の場合、残る数字は3569です。
「?/7+?/28」で因数7が消せるのは、「3/7+9/28=21/28=3/4」だけなので、右辺を整数にするには4の分子は5となります。
右辺を計算すると「3/4+5/4=2」ですが、残る数字は6なので成立しません。
「?/6+?/7+?/42」の場合、残る数字は3589です。
「?/7+?/42」で因数7を消せる分子の組み合わせはこの中にはありません。
「?/8+?/7+?/56」の場合、残る数字は2349です。
「?/7+?/56」で因数7が消せるのは、「4/7+3/56=35/56=5/8」だけです。
残りのうち、8の分子には9しか入らないですが、因数8が消えないので不適です。
「?/9+?/7+?/63」の場合、残る数字は2458です。
「?/7+?/63」で因数7が消せるのは、「5/7+4/63=49/63=7/9」「8/7+5/63=77/63=11/9」の二つです。
残った数字を入れて右辺が整数になるのは、「2/9+7/9=1」だけですが、これだと左辺に残った8とは一致していませんので、これも不適です。
以上より因数7も分母に入ることはありません。
したがって（仮定１、２）は間違いで、右辺の二桁の分母は一桁の分母と足し算して因数を消すことから、因数2,3だけで形成されていることになります。
23456789を使って因数2と3だけの積で表されている二桁の数字を作ってみると下のようになります。
「24,27,32,36,48,54,64,72,96」
このうちNo.7（２）から次のものは候補として除けます。
「27=3^3、32=2^5、48=(2^4)*3、54=2*(3^3)、64=2^6、96=(2^5)*3」
（意外に減りますね
残るのは24,36,72ですので、それぞれ一つずつ見ていきましょう。
（ア）二桁の分母が24のとき。
24=2*2*2*3ですので、因数3を消すには3か6です（9は3*3なので例の法則から消せませんね）。
いずれの場合でも、因数は3しか消えません。
分母に6を使った場合でも、因数2が24/6=4にも含まれているためです。
どちらにせよ因数3を除いた結果、分母は8なので、残りの一桁の分母は8と決まります。
「?/8+?/3+?/24」か「?/8+?/6+?/24」です。
まず後者の場合、残っている数字は3579であり、右辺の最大値は
?/8+?/6+?/24 < 9/8+9/6+9/24 = (27+36+9)/24=3
なので、左辺に当てはまる数字がなく不適。
前者の場合、残っている数字は5679なので、右辺の最大値は
?/8+?/3+?/24 < 9/8+9/3+9/24 = (27+72+9)/24=9/2<5
なので、こちらも左辺に当てはまる数字がなく不適。
（イ）二桁の分母が36のとき。
36=4*9ですので、残った分母は4と9と決まります（これも例の法則からですね）。
「?/4+?/9+?/36」で、残りの数字は2578です。
「?/4+?/36」に当てはまるのは「5/4+7/36=52/36=13/9」「7/4+5/36=68/36=17/9」の二つ。
残った数字を9の分子に持って来ても左辺は整数にならないので不適。
（ウ）二桁の分母が72のとき。
72=8*9ですので、残った分母は8と9で決まりです（以下同文）。
「?/8+?/9+?/72」で、残りの数字は3456です。
互いに素になるように作ると「3/8+4/9+5/72」しか許されないが、計算結果は「(27+32+5)/72=64/72=8/9」で不適。
以上から「0/1」の形を含んだ場合には解は存在しないことが分かりました。
（その２）
◯ ◯ ◯
◯＝◯＋ー＋ー＋ーー
◯ ５ ◯０
は次回に
こちらには別解が存在しています。