ではでは、解答発表を
上の議論は「一般の三角形→二等辺三角形」というロジックなので、二等辺三角形でない三角形に限定して考えていきます。
つまり、ＡＢ＞ＡＣ（逆でも入れ替えれば同じ）ということです。
上にも書きましたように、作図すれば簡単に分かりますが、点Ｄは三角形ＡＢＣの内部にはありません。ですが、これだけでは不十分です。
というのも、三角形の外部からでも、辺に垂線を下ろしたときに辺ＡＢや辺ＡＣ上に点Ｅや点Ｆが存在するのなら、同じ議論ができてしまうからです。
したがって解答して頂きたかったポイントは
「点Ｄから "直線" ＡＢや "直線" ＡＣに垂線を下ろしたときに、"辺上" に交点を持つのは必ず一方だけ」ということです。
問題の議論ではここが崩れるので、その後の「ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦ＋ＦＣ」というところは、片方だけ符号が必ずマイナスでないといけなくなります（こちらの指摘でもＯＫとしました）。
例えばＡＢ＞ＡＣなら点Ｅは辺ＡＢ上ですが、点Ｆは辺ＡＣ上ではなく、"直線ＡＣ上"、しかも辺ＡＣの外に垂線を下ろせることになります。したがって正しくは「ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦーＦＣ」のように片方だけマイナスにしないといけません。
問題の議論はこれ以外は全て正しく、ＡＥ＝ＡＦ、ＤＥ＝ＤＦ、ＥＢ＝ＦＣ、これらはすべて成り立っています。
証明の三行目に "
辺に垂線を下ろす" と書いているところが誤魔化しポイントでした。
ほんとは三角形外部の点Ｄから垂線を辺上に下ろしている図を付け加えて、より誤魔化したかったんですけどねぇ 
＜なぜ必ず辺上と辺外に垂線が下ろせるか、なんですが…＞
細かいことは省きますが、実は点Ｄは三角形ＡＢＣの外接円上にあることがわかります。
（円周角の定理を使ったりとかで証明できますので）
ＡＤは直径ではなく、ＡＢ＞ＡＣ の場合なら 角ＡＢＤ ＜ 角ＡＣＤ です。
四角形ＡＢＤＣは円に内接するので、角ＡＢＤ ＋ 角ＡＣＤ ＝ １８０度 です。
ということは 角ＡＢＤ ＜ ９０度 ＜ 角ＡＣＤ なので、ＤからＡＢやＡＣに垂線を下ろすと、一方は辺上に、もう一方は辺外に交点ができるのです。
その他シムソンの定理を使った証明も可能なようです（fyhさん、ありがとうございます
）
＜最後に私個人の感想ですが…＞
どこまで有名なのかは気になるところですが、"１＝２" にはさすがに劣るかなぁ
学校の先生に出題されたのを、友達と「あーだこーだ」言って議論していたのを覚えております。
PDJさんにご指摘いただきましたが、かつて図形掲示板というところで出題されたようです。（PDJさん、ありがとうございます
）
今は見られないようですので、皆さんにも知って頂こうかと思い、ロックせずに解答募集を続けました。お付き合い・参加してくださった皆様、ありがとうございました
しばらくは、感想募集機能を使ってみようかと思いますので、何かあればコメントお寄せください
どれくらいの知名度があるかは少し気になりますねぇ〜
もしかしたら私の恩師はここに上陸しているのかも！？ 
上の議論は「一般の三角形→二等辺三角形」というロジックなので、二等辺三角形でない三角形に限定して考えていきます。
つまり、ＡＢ＞ＡＣ（逆でも入れ替えれば同じ）ということです。
上にも書きましたように、作図すれば簡単に分かりますが、点Ｄは三角形ＡＢＣの内部にはありません。ですが、これだけでは不十分です。
というのも、三角形の外部からでも、辺に垂線を下ろしたときに辺ＡＢや辺ＡＣ上に点Ｅや点Ｆが存在するのなら、同じ議論ができてしまうからです。
したがって解答して頂きたかったポイントは
「点Ｄから "直線" ＡＢや "直線" ＡＣに垂線を下ろしたときに、"辺上" に交点を持つのは必ず一方だけ」
ということです。
問題の議論ではここが崩れるので、その後の「ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦ＋ＦＣ」というところは、片方だけ符号が必ずマイナスでないといけなくなります（こちらの指摘でもＯＫとしました）。
例えばＡＢ＞ＡＣなら点Ｅは辺ＡＢ上ですが、点Ｆは辺ＡＣ上ではなく、"直線ＡＣ上"、しかも辺ＡＣの外に垂線を下ろせることになります。したがって正しくは「ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ、ＡＣ＝ＡＦーＦＣ」のように片方だけマイナスにしないといけません。
問題の議論はこれ以外は全て正しく、ＡＥ＝ＡＦ、ＤＥ＝ＤＦ、ＥＢ＝ＦＣ、これらはすべて成り立っています。
証明の三行目に "辺に垂線を下ろす" と書いているところが誤魔化しポイントでした。
ほんとは三角形外部の点Ｄから垂線を辺上に下ろしている図を付け加えて、より誤魔化したかったんですけどねぇ
＜なぜ必ず辺上と辺外に垂線が下ろせるか、なんですが…＞
細かいことは省きますが、実は点Ｄは三角形ＡＢＣの外接円上にあることがわかります。
（円周角の定理を使ったりとかで証明できますので）
ＡＤは直径ではなく、ＡＢ＞ＡＣ の場合なら 角ＡＢＤ ＜ 角ＡＣＤ です。
四角形ＡＢＤＣは円に内接するので、角ＡＢＤ ＋ 角ＡＣＤ ＝ １８０度 です。
ということは 角ＡＢＤ ＜ ９０度 ＜ 角ＡＣＤ なので、ＤからＡＢやＡＣに垂線を下ろすと、一方は辺上に、もう一方は辺外に交点ができるのです。
その他シムソンの定理を使った証明も可能なようです（fyhさん、ありがとうございます
＜最後に私個人の感想ですが…＞
どこまで有名なのかは気になるところですが、"１＝２" にはさすがに劣るかなぁ
学校の先生に出題されたのを、友達と「あーだこーだ」言って議論していたのを覚えております。
PDJさんにご指摘いただきましたが、かつて図形掲示板というところで出題されたようです。（PDJさん、ありがとうございます
今は見られないようですので、皆さんにも知って頂こうかと思い、ロックせずに解答募集を続けました。お付き合い・参加してくださった皆様、ありがとうございました
しばらくは、感想募集機能を使ってみようかと思いますので、何かあればコメントお寄せください
どれくらいの知名度があるかは少し気になりますねぇ〜
もしかしたら私の恩師はここに上陸しているのかも！？