ｸｲｽﾞ大陸

参考になりそうなページを発見しました
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum.htm
ちなみに、多項式になるかどうかは数学的帰納法から導いておりました。
「多項式うんぬん」以外についてもいろいろと触れられていて、発展的でかなり興味深い内容でした

（略解）
「pについての帰納法」
(p-1)次まで成立していると仮定。
(k+1)^p+1-k^p+1
の展開式をk=1〜nまで和をとる。
展開式は最高次数がk^pなので、p次を左辺に移項、(p-1)次以下を右辺に。
帰納法の仮定から(p-1)次以下である右辺の和をとれば右辺は多項式になる。
左辺も(k+1)^p+1-k^p+1は和をとっていけば次々に消えるので、(n+1)^p+1-1の項だけが残る。
あとは移項したりして整理すれば、k^pの和は多項式になる。

↑でもこの証明だと、次数が低いなら途中でk²ぐらいなら計算できてしまう。
わざわざ遠回りして、「多項式証明→多項式の係数を求める」の道を辿らなくてもという気はします…

あ、あと和について面白い補足というか…k^pの和の最高次の係数は1/(p+1)になります。
x^p積分と深い関係にありそうな…