ｸｲｽﾞ大陸

Xは金曜に嘘つきだと仮定する。
　四段が7の倍数となるのは初段が4人で団員Zが存在しないときのみ。
　するとXは月曜日に嘘つきとなり、四段がいることになり矛盾。
よって、金曜は正直。
Xが月曜に正直と仮定すると水曜も正直。
　木曜に正直だと、Xは火曜のみ正直となる。
　　　金曜に正直で、火曜のみ正直となる団員はいないはずなので不適。
　よって木曜には嘘つき。
　Xは火曜、木曜のみ嘘つきになる団員である。
　その裏団員は火曜、木曜のみ正直になる。
　金曜に正直なので火曜のみ正直の団員はいない。
　よって火曜、木曜のみ正直となる団員は初段である。
　Xは木曜に嘘つきなので、二段の人数は3の倍数ではない。
　そうなるのは初段が5人のときだけ。
　Xの下位でない初段は火曜、木曜に正直となる者1人だけなので、
　Xの下位には初段が4人おり、Xは四段。
　これは月曜に正直であるということに矛盾。
よってXは月曜は正直ではないことが分かった。
Xは月曜と水曜は嘘つきで、四段。
現時点で、日、金、土に正直となり、月、火、水に嘘つきとなることが分かっている。
Xは四段なので4日以上正直となる。よって木曜も正直。
これで全曜日について、Xが正直か嘘つきかは決まった。
初段は4人以上6人以下で、
Xは木曜に正直であるから、二段の人数は3の倍数。
よって初段の人数は4人か6人。
Xは金曜に正直なので、四段の人数は7の倍数ではない。
初段の人数が4人だとすると、四段が7の倍数でなくなるためには、
　団員Zが存在する必要がある。これは月曜に嘘つきであることに矛盾。
よって初段の人数は6人である。
団員Zは存在しないので全団員数は2^6-1=63人となる。

63人以外が答えにならないことはこれで分かった。
これが問題の条件を満たすことを確認しておこう。
Xは日、木、金、土に正直となり、月、火、水に嘘つきとなる四段。
Xは四段なので初段4人の和集合であり、{日}∪{木}∪{金}∪{土}
初段は6人なので、残りの{月、火、水}は初段2人の和集合となる。
Xは金曜に正直なので火曜のみ正直となる団員はいない。
よって月曜のみ正直になる団員または水曜のみ正直になる団員がいる。
どちらでもうまくいくが、例えば月曜のみ正直になる団員がいるとしよう。
無段はφの1人。
初段は{日}、{月}、{火、水}、{木}、{金}、{土}の6人。
二段は初段2人の組み合わせで、6C2=15人。
三段は初段3人の組み合わせで、6C3=20人。
四段は初段4人の組み合わせで、6C4=15人。
五段は初段5人の組み合わせで、6C5=6人。
六段以上はいない。
全団員数は63人。

これはすべての条件を満たすので、63人が答え。