ｸｲｽﾞ大陸

前回までのあらすじ:
この団員は日曜は正直、火曜は嘘つき、土曜は正直。
各曜日には初段が一人だけ正直者となる。
A,Bが異なる団員のとき、団員A∩Bは存在する。
さらに、A∪B≠Zのとき団員A∪Bも存在する。

Aをφでない任意の団員とする。
Aが正直者となる各曜日に対して、その曜日に正直者となる初段が一人ずついる。
その初段の集合を{A1,A2,･･･,An}とする。
A⊂∪Ai(i=1,2,･･･,n)は明らか。
任意のiについて、A∩Ai≠φかつA∩Ai⊂Aiなので、A∩Ai=AiでありAi⊂Aである。
よって∪Ai⊂Aであり、∪Ai=Aであることが分かる。
φは初段0人の和集合とみなせる。
これで任意の団員はある初段の和集合として表せることが分かった。
初段の集合が違えばその和集合も異なるので、この表し方は一通りしかない。
逆に、初段の和集合はそれがZと異なる場合にはその集合に対応する団員が存在する。

φは唯一の無段である。
初段1人の和集合はもちろん初段。
初段2人の和集合は、その真部分集合が初段1人の集合とφのみなので二段。
初段3人の和集合は、その真部分集合が初段2人以下の集合なので三段。
以下同様。
団員を初段の和集合として表したときの初段の人数と段数は一致する。

続く。