ｸｲｽﾞ大陸

前回のあらすじ：
捕らえられている団員は日曜は正直、火曜は嘘つき、土曜は正直であることが分かった。
日曜に正直者なので、彼の裏団員は存在する。

各団員に対してその団員が正直になる曜日の集合を考える。
例えば、月陽、水曜のみ正直となる団員についてのその集合は{月、水}
毎日嘘つきとなる団員に対しては、φ(空集合)である。
各団員に対するこの集合はすべて異なるので、団員とこの集合を同一視することができる。
団員Aと書いたときには、Aはその団員が正直者となる曜日の集合を表すものとする。
団員Aが団員Bの上位であるとは、BがAの真部分集合になっているということである。
つまり、AがBの上位⇔B⊂AかつA≠B
全曜日の集合をZと書くことにする。団員Zが存在するかどうかは分からない。
裏団員はZを母集合としたときの補集合にあたる。
Aの補集合をC(A)で表すことにする。

土曜に正直者なので、
どの異なる団員A,Bについても、2人が両方嘘つきになる日に限って正直者となる団員がいる。
これは、A≠Bであれば団員C(A)∩C(B)が存在するということである。---☆
捕らえられた団員をXとすると、裏団員C(X)が存在し、
X≠C(X)なので☆より、団員C(X)∩C(C(X))が存在することが分かる。
C(X)∩C(C(X))=C(X)∩X=φ
なので、毎日嘘つきの団員が存在することが分かった。
明らかにこの団員が唯一の無段である。
φ以外の任意の団員をAとすると、☆より団員C(φ)∩C(A)が存在する。
C(φ)∩C(A)=Z∩C(A)=C(A)
なので、φ以外の任意の団員に対して裏団員が存在することが分かった。
団員C(A)∩C(B)がφでないとき、その裏団員は、C(C(A)∩C(B))=A∪B
従ってA,Bが異なる団員でA∪B≠Zのとき団員A∪Bが存在することが分かった。
三人以上の団員に対しても同様の団員が考えられる。
例えば、A,B,Cが異なる団員でA∪B∪C≠Zのとき、団員A∪B∪Cは存在する。

初段をA1,A2,･･･,Anとする(nは7以下の自然数)。
A1からAnの和集合∪Ai(i=1,2,･･･,n)がZと異なると仮定する。
団員∪Aiは存在し、φではないので、裏団員C(∪Ai)が存在する。
この団員は無段でも初段でもないので、ある初段Akの上位になっている。
するとAk⊂C(∪Ai)となり矛盾。
よって、∪Ai=Z。

A,Bを異なる団員とする。
A,Bのどちらかがφのとき、A∩B=φとなる。
A,Bがどちらもφでないとき、団員C(A),C(B)は存在し、C(A)≠C(B)
よって☆から団員C(C(A))∩C(C(B))=A∩Bは存在する。
以上より、任意の異なる団員A,Bに対して団員A∩Bが存在することが分かった。
A,Bを異なる初段の団員とすると、団員A∩Bが存在する。
A∩B⊂BなのでA∩BはφまたはB。
B⊂AでないのでA∩B≠Bであり、A∩B=φ。

以上より各曜日には初段が一人だけ正直者となることが分かった。

本日はここまで。