ｸｲｽﾞ大陸

最初は移動回数0回で目の数は2である。
移動回数も目の数も偶数となっている。
東に進むと、1番の条件により目の数は5増えて7になる。
このとき、移動回数は1で目の数は7、どちらも奇数となる。
さらに東に進むと、移動回数2、目の数12となり、どちらも偶数。
実は東にいくら進んでも、移動回数の偶奇と目の数の偶奇はずっと同じである。
移動回数は1回移動する毎に1増えるので、偶数、奇数と交互に変わる。
東に進んだとき、目の数の偶奇も交互に変わる。
なぜなら、
目の数が偶数のときは1番の条件を満たすので5増えて奇数になる。
3番の条件を満たす場合、必ず1番の条件を満たすので、3番が使われることはない。
2番、4番の条件が使われる場合、目の数は奇数である。
2番が使われる場合は、3増えて偶数になる。
4番が使われる場合は、偶数から2を引いた数になるので、偶数になる。
いずれの場合も、偶数が奇数に、奇数が偶数に変化している。

前回の考察で、
ある時点の移動回数が偶数で、目の数が10201とならなければいけないことが分かった。
このとき、移動回数と目の数の偶奇は異なっている。
ずっと東に進む場合には、このようなことは起こらない。
その他の移動で移動回数と目の数の偶奇がどう変化するか調べてみよう。

西に移動した場合。
移動前の目の数が偶数であれば、1番の条件により奇数になる。
移動前の目の数が奇数のとき、
2番、4番の条件を満たせば、移動後は偶数になる。
3番の条件を満たすとき、奇数の3の倍数を3で割ると奇数なので、
移動後の目の数は偶数になる。
よって、西に移動した場合も、奇数は偶数、偶数は奇数に変化する。

南に移動した場合。
1番の条件を満たすとき、移動回数は奇数であり、目の数も奇数になる。
2番または3番の条件を満たすとき、奇数は偶数に、偶数は奇数に変化する。
4番の条件を満たすとき、奇数は偶数に、偶数は偶数に変化する。

北に移動した場合。
1番の条件を満たすとき、移動回数は偶数、目の数も偶数になる。
2番の条件を満たすとき、偶数は奇数に、奇数は偶数に変化する。
3番、4番の条件を満たすときも、偶数は奇数に、奇数は偶数に変化する。


移動回数と目の数を足した数を2で割ったときの余りをrとしよう。
最初は0+2を2で割った余りなので、r=0。
最後はr=1とならなければいけない。

東に移動する場合、移動回数は1増え、目の数は偶奇が変わるので、rは変化しない。
西に移動する場合もrは変化しない。
南に移動する場合は、1番の条件が使われたとき、r=0となる。
2番、3番が使われたとき、rは変化しない。
4番が使われたとき、目の数が奇数ならばrは変化せず、目の数が偶数ならばrは変化する。
北に移動する場合、1番の条件が使われたときは、r=0となる。
2,3,4番が使われたときは、rは変化しない。

よってrが1に変わるのは、南の4番の条件により、目の数が偶数から偶数になるときのみ。
このとき、2番の条件を満たさないので、目の数は素数。
偶数の素数は2しかないので、目の数は2。
また、この南への移動で条件1を満たしてはいけない。
よって、ある時点で移動回数が4の倍数でなく、目の数が2となっていなければいけない。

目の数が2になるまでは、移動回数と目の数の偶奇は一致しているので、
目の数が2となるのは移動回数が偶数のときのみ。
移動回数が4の倍数でないのは、移動回数が2,6,10,･･･のとき。
移動回数1のときの目の数は7または11。
移動回数2のときの目の数は8,12,14,20,22,42,66のみ。
移動回数2のときに目の数が2となることはない。
6回の移動で2になる手順は存在する。
例えば、東、東、南、西、北、西と6回移動したとき、
目の数は、7,12,15,4,1,2と変化し、2になる。

これで最初と最後は決まった。
今回はここまで。