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魔術師
2008/11/14 17:44
タッツとペリーは少なくとも1回攻撃を受けている。
f(n)=45となることはないので、45のダメージは2回または3回分のダメージの合計。
偶数の合計は偶数にしかならないので、そのうちの少なくとも1回は奇数ダメージ。
f(n)が奇数になる場合、f(n)=1であり、nは1または2。
3ターン目の終わりにナスのHPが2以下だと、次のターンで必ずナスが死ぬので、
ナスの攻撃力が1だったのは4ターン目だったと分かる。
45が3回分だった場合と、2回分だった場合をそれぞれ調べてみよう。
45が3回分だった場合
46は1回分となるので、f(n)=46となるnを見つける。
nが素因数pを持つとき、p-1はf(n)の約数である。
pが奇数のとき、p-1は偶数。
46の約数で偶数のものは2と46の2つしかないので、
nの奇数の素因数は3と47以外にはない。
46は4の倍数ではないので、nは奇数の素因数を高々1つしかもたない。
nが3を素因数としてもつとき、46は3の倍数でないので、nは3^2の倍数ではない。
よって、n=2^m*3と書ける(mは0以上の整数)
このとき、f(n)=f(2^m)*2
f(2^m)は2以外の素因数をもつことはないので、f(n)は23の倍数にはならない。よって不適。
nが47を素因数としてもつとき、46は47の倍数でないので、n=2^m*47(m>=0)と書ける。
このとき、f(n)=f(2^m)*46
よってf(2^m)=1であり、m=0,1
以上よりn=47,94
奇数の素因数をもたないときは不適なことは明らか。
45が2回分だった場合
45は1と44の2回だったことが分かる。
f(n)=44となるnを見つけよう。
44の約数で偶数となるのは、2,4,22,44の4つ。
1を足すと3,5,23,45となるが、素数は3,5,23のみ。
44は8の倍数ではないので、nは奇数の素因数を高々2つしか持たない。
また、奇数の素因数をもたないときは不適なことは明らか。
nが23を素因数としてもたないとf(n)は11の倍数にならないので、nは23の倍数。
また、44は3,5,23のいずれの倍数にもなっていない。
nが3,23の倍数の場合、n=2^m*3*23と書ける(m>=0)。
このとき、f(n)=f(2^m)*f(3)*f(23)=f(2^m)*44であり、m=0,1、n=69,138
nが5,23の倍数の場合、f(5)*f(23)=4*22=88>44なので不適。
nが23の倍数であり、3または5の倍数でない場合、
n=2^m*23と書ける(m>=0)。
このとき、f(n)=f(2^m)*f(23)=f(2^m)*22であり、f(2^m)=2
m=0のときはf(2^m)=1なので、m>=1
よって、f(2^m)=2^(m-1)である。
従って、m=2であり、n=92
以上より、あるターンの終わりにナスのHPが47,69,92,94,138のいずれかであったことが分かった。
-続く-
f(n)=45となることはないので、45のダメージは2回または3回分のダメージの合計。
偶数の合計は偶数にしかならないので、そのうちの少なくとも1回は奇数ダメージ。
f(n)が奇数になる場合、f(n)=1であり、nは1または2。
3ターン目の終わりにナスのHPが2以下だと、次のターンで必ずナスが死ぬので、
ナスの攻撃力が1だったのは4ターン目だったと分かる。
45が3回分だった場合と、2回分だった場合をそれぞれ調べてみよう。
45が3回分だった場合
46は1回分となるので、f(n)=46となるnを見つける。
nが素因数pを持つとき、p-1はf(n)の約数である。
pが奇数のとき、p-1は偶数。
46の約数で偶数のものは2と46の2つしかないので、
nの奇数の素因数は3と47以外にはない。
46は4の倍数ではないので、nは奇数の素因数を高々1つしかもたない。
nが3を素因数としてもつとき、46は3の倍数でないので、nは3^2の倍数ではない。
よって、n=2^m*3と書ける(mは0以上の整数)
このとき、f(n)=f(2^m)*2
f(2^m)は2以外の素因数をもつことはないので、f(n)は23の倍数にはならない。よって不適。
nが47を素因数としてもつとき、46は47の倍数でないので、n=2^m*47(m>=0)と書ける。
このとき、f(n)=f(2^m)*46
よってf(2^m)=1であり、m=0,1
以上よりn=47,94
奇数の素因数をもたないときは不適なことは明らか。
45が2回分だった場合
45は1と44の2回だったことが分かる。
f(n)=44となるnを見つけよう。
44の約数で偶数となるのは、2,4,22,44の4つ。
1を足すと3,5,23,45となるが、素数は3,5,23のみ。
44は8の倍数ではないので、nは奇数の素因数を高々2つしか持たない。
また、奇数の素因数をもたないときは不適なことは明らか。
nが23を素因数としてもたないとf(n)は11の倍数にならないので、nは23の倍数。
また、44は3,5,23のいずれの倍数にもなっていない。
nが3,23の倍数の場合、n=2^m*3*23と書ける(m>=0)。
このとき、f(n)=f(2^m)*f(3)*f(23)=f(2^m)*44であり、m=0,1、n=69,138
nが5,23の倍数の場合、f(5)*f(23)=4*22=88>44なので不適。
nが23の倍数であり、3または5の倍数でない場合、
n=2^m*23と書ける(m>=0)。
このとき、f(n)=f(2^m)*f(23)=f(2^m)*22であり、f(2^m)=2
m=0のときはf(2^m)=1なので、m>=1
よって、f(2^m)=2^(m-1)である。
従って、m=2であり、n=92
以上より、あるターンの終わりにナスのHPが47,69,92,94,138のいずれかであったことが分かった。
-続く-