ｸｲｽﾞ大陸

ナスのHPをnとし、f(n)がナスの攻撃力を表すものとする。
任意の自然数nに対してf(n)を計算する方法を考えてみよう。

n=1のときはf(n)=1。
n>=2で、nの素因数が唯一つのときを考えてみよう。
その素因数をpとすると、ある自然数mを使ってn=p^mと書ける。
当然pは2以上の自然数だ。
1以上p^k以下の自然数をpで割った余りを考えると、1,2,3,･･･,p-1,0を繰り返すことが分かる。
この繰り返しはぴったり整数回、正確にはp^(m-1)回となっている。
繰り返し1回分に注目すると、そのp個の数の中でp^mと互いに素でないのは余りが0のものだけ。
従って、互いに素な数が占める割合は(p-1)/p=1-1/p　となる。
よってこの場合はf(n)=n*(1-1/p)

それではnの素因数が2つ以上のときを考えよう。
nを素因数分解して、n=p1^m1*p2^m2*･･･*pk^mkとなったとする。
(p1,p2,･･･,pkは相異なる素数、m1,m2,･･･,mkは2以上の自然数)
各素数の冪p1^m1,p2^m2,･･･,pk^mkは互いに素なので、No.9の結果から、
f(n)= f(p1^m1)*f(p2^m2)*･･･*f(pk^mk)
=p1^m1*(1-1/p1)*p2^m2*(1-1/p2)*・・・*pk^mk*(1-1/pk)
=n*(1-1/p)(1-1/p2)･･･(1-1/pk)
となる。
f(n)はnの素因数さえ分かれば計算できる。

では次にf(n)はn>2のときには偶数になることを示そう。
nが1でないとき、
f(n)=(p1-1)(p2-1)･･･(pk-1)*p1^(m1-1)*p2^(m2-1)*･･･*pk^(mk-1)
と変形できる。
nが素因数pを持つとき、f(n)はp-1の倍数になる。
nが2以外の素因数を持つとき、f(n)は偶数。
よってf(n)が奇数であれば、n=2^m(mは自然数)と書ける。
このときf(n)=2^(m-1)なので、m>1のときにはf(n)は偶数となる。
以上より、n>2のときにはf(n)は偶数。
f(1)=1,f(2)=1なので、f(n)が奇数になるのはn=1,2のときのみ。

-続く-