ｸｲｽﾞ大陸

「不動点について」
位相幾何学の本を読んで勉強して参りました。
その本によると、不動点定理の集合については、
コンパクト(有界閉集合)かつ凸という条件が必要なようです。
円周や球面はコンパクトではありますが、凸ではないため、その条件を満たしていないようです。
円板(円周及びその内部)、球体(球面及びその内部)は、コンパクトかつ凸なので、
円板から円板、球体から球体への連続写像は必ず不動点を持ちます。

地球上に無風地帯が存在するという話は正しいのですが、
不動点定理ではなく、
球面上の連続なベクトル場は必ず特異点を持つということで示していました。
書いてあった証明には納得しましたが、長くなるのでここには書きません。
というわけで、無風地点の存在をもとにした議論については正しく、
全地点で一意的かつ連続な方位は定義することができないということになると思います。

(-へ-;)「南極点から”北”（東、西、南）に行けるのか？」
東、西、南は定義されていないので行くことはできないと思います。
どの方向に進んでも北に進んだことになると思います。
恐らくSHISHI1さんが気にしているのは、
通常ある地点から北にある距離進んだといった場合に、その経路が完全に特定できるのに対して、
南極点から北にある距離進んだと言った場合は、経路が特定できないのがおかしい。
北は北でもどの北なのかはっきりしてくれ〜ということではないかと思います。
これは現状の定義でははっきりさせることはできません、というしかないですね。
方向をはっきりと示したい場合は、経度を使えばよいと思います。

(＞o＜)「南極での特定の方向に進む方法」
＞いはらさんの方法で確かに自分の居場所はわかりますが、自分の居場所がわかっても方位はわからないのでは？
＞少なくとも方位を決めるには、ベクトルとスカラーという意味を考えると二カ所ではかる必要があると思います。
南極点から一歩離れた地点の位置を測定するわけですから、
南極点を含め2点の位置が分かったことになります。
その2点を結ぶ線(測地線=大円の一部)を基準にすれば方位が決められると思います。

「実際に極で特定の方向を見いだす方法は？」
極だけの話でいいのなら、地面に経度0の線を引いておけば、
それを基準に方位を決められると思います。