＞ＳＨＩＳＨＩ１さん
派生した議論への寛容な対応、ありがとうございます
では、改めていくつか思うところを述べさせていただきます。
不動点定理のわかりやすい反例というか…
例えば一次元球、すなわち二次元で原点からの距離が等しい円周を考えます。
このとき原点周りの回転操作によって再び自分自身に戻ってきます。
(θ)→(θ＋δθ)と書けばいいでしょうか。
この場合δθは2πの整数倍でない限りは不動点を持ちません。
一方でネットでは、数直線を考えた場合の一次元での不動点定理の例えに
「ゴムのひもを引っ張ると動かないところがある」
ようなものが挙げられていました。
このように、どうも不動点定理が成り立つ場合と成り立たない場合があるのは確かなようで、定理を適用するために満たすべき仮定があるためだと思います。
三次元でも同じように、満たすべき仮定を満たしていないと、このようなことが起こると思います。
(x,y,z)→(-x,-y,-z)という変換が、実際の球面をどのように変形させているのか、上の円周の回転のように表現することが難しいですが、例えば球面座標を導入して(θ,φ)を用いて(x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)とすると、(x,y,z)→(-x,-y,-z)の変換は(θ,φ)→(π-θ,φ＋π)とすればいいと思います。
僕が思うに…
一次元球を数直線上の区間と等価なものとみなすことは確かにできますが、上の回転操作を、等価と見なした数直線の区間[0,2π)に当てはめるたときに、2πのところから0に戻るためだと思います。
不動点定理を使うときに、写像が連続性を満たしていないとダメなのですが、ここに関わってくるかと…
不動点定理はとりあえずこのくらいで…
「極での東西南北について」
やはり持ち込めないと思います。
これは無風地帯が正しいとすればその説明から転用できるかと思うのですがどうすればいいのかちょっと思いつきません
「南極での特定の方向に進む方法」
いはらさんの方法で確かに自分の居場所はわかりますが、自分の居場所がわかっても方位はわからないのでは？
少なくとも方位を決めるには、ベクトルとスカラーという意味を考えると二カ所ではかる必要があると思います。
僕が思うのは
「確かに極で東西南北は決められないが、例えば、極圏で通用するような新たな方位決定方法（と、ついでに新名称も募集）は無いのかな」
という疑問です。
この方位は、現存の"東西南北"とは違っても構いません。
この新たな方位決定方法が見つかれば、その方位決定方法における極（特異点）は存在するであろうが、それが遥かに離れていれば問題ないだろうと。
そういう意味を込めて
「実際に極で特定の方向を見いだす方法は？」
を考えていました。
これさえできないのであれば、緯度経度を使ったホントに便宜的なものしか使えないと思います。
例えばいはらさんの現在位置を知る方法では、これから行く先がわかっていないとできない方法ですよね。
それに対して「北に10km」というのはこれから行く先がどんな地点か知らないが、でも方位磁石などを使ってスタート地点から北に10km進むことはできますよね。
なんて言ったらいいのか、言葉が出てこないのですが…
「今いる場所だけで、なにかしらの現象を使って普遍的な方向を決めることはできるのか」と言えばいいんでしょうか。
今現在自転軸と地球を大きな棒磁石と考えた場合の磁極が近いので、極圏でなければ方位磁石を使うことでほとんど問題なく方位を知ることができます。
ところが、例えば今の地球の棒磁石が90度傾いていた場合はどうでしょうか？
この場合は、自転の極と磁気的な極が一致しないので、自転を基準にした北極の方向を知るには天体現象を使う必要があると思います。
一方で、自転基準での極圏の人たちにとっては、生活する上では棒磁石を使って方位を決めることができ、例えば「磁北」に10kmというような移動方法が採れると思います。
でも磁極と自転の極が一致しているときは、磁石を使っても方位を決めることはできなくて、代わりとなる方位決定方法はあるのかな…という疑問です。
長々と書いてしまいましたことをお詫びします。
派生した議論への寛容な対応、ありがとうございます
では、改めていくつか思うところを述べさせていただきます。
不動点定理のわかりやすい反例というか…
例えば一次元球、すなわち二次元で原点からの距離が等しい円周を考えます。
このとき原点周りの回転操作によって再び自分自身に戻ってきます。
(θ)→(θ＋δθ)と書けばいいでしょうか。
この場合δθは2πの整数倍でない限りは不動点を持ちません。
一方でネットでは、数直線を考えた場合の一次元での不動点定理の例えに
「ゴムのひもを引っ張ると動かないところがある」
ようなものが挙げられていました。
このように、どうも不動点定理が成り立つ場合と成り立たない場合があるのは確かなようで、定理を適用するために満たすべき仮定があるためだと思います。
三次元でも同じように、満たすべき仮定を満たしていないと、このようなことが起こると思います。
(x,y,z)→(-x,-y,-z)という変換が、実際の球面をどのように変形させているのか、上の円周の回転のように表現することが難しいですが、例えば球面座標を導入して(θ,φ)を用いて(x,y,z)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)とすると、(x,y,z)→(-x,-y,-z)の変換は(θ,φ)→(π-θ,φ＋π)とすればいいと思います。
僕が思うに…
一次元球を数直線上の区間と等価なものとみなすことは確かにできますが、上の回転操作を、等価と見なした数直線の区間[0,2π)に当てはめるたときに、2πのところから0に戻るためだと思います。
不動点定理を使うときに、写像が連続性を満たしていないとダメなのですが、ここに関わってくるかと…
不動点定理はとりあえずこのくらいで…
「極での東西南北について」
やはり持ち込めないと思います。
これは無風地帯が正しいとすればその説明から転用できるかと思うのですがどうすればいいのかちょっと思いつきません
「南極での特定の方向に進む方法」
いはらさんの方法で確かに自分の居場所はわかりますが、自分の居場所がわかっても方位はわからないのでは？
少なくとも方位を決めるには、ベクトルとスカラーという意味を考えると二カ所ではかる必要があると思います。
僕が思うのは
「確かに極で東西南北は決められないが、例えば、極圏で通用するような新たな方位決定方法（と、ついでに新名称も募集）は無いのかな」
という疑問です。
この方位は、現存の"東西南北"とは違っても構いません。
この新たな方位決定方法が見つかれば、その方位決定方法における極（特異点）は存在するであろうが、それが遥かに離れていれば問題ないだろうと。
そういう意味を込めて
「実際に極で特定の方向を見いだす方法は？」
を考えていました。
これさえできないのであれば、緯度経度を使ったホントに便宜的なものしか使えないと思います。
例えばいはらさんの現在位置を知る方法では、これから行く先がわかっていないとできない方法ですよね。
それに対して「北に10km」というのはこれから行く先がどんな地点か知らないが、でも方位磁石などを使ってスタート地点から北に10km進むことはできますよね。
なんて言ったらいいのか、言葉が出てこないのですが…
「今いる場所だけで、なにかしらの現象を使って普遍的な方向を決めることはできるのか」と言えばいいんでしょうか。
今現在自転軸と地球を大きな棒磁石と考えた場合の磁極が近いので、極圏でなければ方位磁石を使うことでほとんど問題なく方位を知ることができます。
ところが、例えば今の地球の棒磁石が90度傾いていた場合はどうでしょうか？
この場合は、自転の極と磁気的な極が一致しないので、自転を基準にした北極の方向を知るには天体現象を使う必要があると思います。
一方で、自転基準での極圏の人たちにとっては、生活する上では棒磁石を使って方位を決めることができ、例えば「磁北」に10kmというような移動方法が採れると思います。
でも磁極と自転の極が一致しているときは、磁石を使っても方位を決めることはできなくて、代わりとなる方位決定方法はあるのかな…という疑問です。
長々と書いてしまいましたことをお詫びします。