ｸｲｽﾞ大陸

では解答発表です。

(1)は言わずもがな、立方体です。
体積も説明はいらないでしょう、8cm³です。

問題は(2)ですよね。なかなか説明が難しいです(・o・‖)
当初予定していた解答は

(1)の立方体から半径1cm、高さ2cmの円柱をそれぞれ直交するように三本くりぬいたような立体

と説明する予定でした。
これならば家で大根や人参を使ってなんとか実演できるのでいいかなと思っておりました。
（＋画像クイズに投稿できればな〜と考えていました）
しかしながら、これではあまりにも抽象的で実際に想像しづらいと思われます。
（加えて画像クイズが回収されました…）
そこでもう少し想像できるように説明を加えたいと思います。

fanさんの言葉をお借りすると、
「この立体の表面は12枚の菱形の様な図形を張り合わせてできていて、それぞれの菱形を膨らませたもの」
です。
これをもう少し想像できるようにと、なんとか考えましたので下をご覧ください。

まず、補助として以下の図形変化を思い浮かべてください。
xy平面で |x|+|y|≦1 の図形を書きます。
これは正方形になりますね。
さらに円 x²+y²≦1 を書きます。
これは上の正方形の各辺を外側に膨らませて円にできるイメージです。
この図形変化のイメージを頭に置いといてください。

次にパソコンを用意して、ネットにつなぎます（ぉぃ(-へ-;)
で「菱形十二面体」という言葉を検索します。
wikipediaあたりに立体の図形が載っていますので、これがいいかと思います。
ちなみに第二種もあるらしいですが、おそらく第一種が必要だと思います。
で、この菱形十二面体は |x|+|y|≦1、|y|+|z|≦1、|z|+|x|≦1 で描かれます。
（と思います、すいません確認がとれませんでしたので自信はありません(;o;)）

wikipediaなどに載っている絵を見ながら、先ほどの図形変化と同様に、立体の面を円柱の一部になるように中心から外に向かってジワ〜と膨らませてください。
ここは想像力がないとツライところですがなんとかお願いします。
で、できたものが今回体積最大となるような立体です。


つぎにできた立体の体積ですが、これは上のコメントに書いてあるとおりです。
計算を途中から書くと
A = (√2)³=2√2
B = 4∫_{(1/√2≦z≦1)}(1-z²)dz
　= 8/3-5/3*√2
でA+6B=16-8√2cm³となります。
16-8√2≒4.69cm³で一方、半径1cmの球の体積は4/3*π≒4.19cm³なので、球体よりも体積は大きくなります。