ｸｲｽﾞ大陸

さて、残った発展問題の解答を発表してこのスレをロックする方向へ。

残るは

命題(1) 辺のn等分
命題(2) 辺のn倍
命題(3) 任意の点を通る（辺上以外も含め）辺に平行な直線を引く
命題(4) 与えられた任意の線分のn等分やn倍
命題(5) 与えられた直線に垂直な直線を引く
（nは自然数）

これらの他に

補題(3') 辺上およびその延長線上の任意の点を通り、辺に平行な直線を引く
補題(4') 辺上及びその延長線上にある線分のn等分やn倍

も考えます。
ここで発表した解答は一例です。
きっとダイレクトに求めるきれいな方法もあるかと思います。
ポリッシュアップできず、長文になっていてい申し訳ないです(;v;)
平行四辺形でもできるところまでは、以下平行四辺形ABCDとします。
まずは命題(3)まで。

命題(1)(2) 辺のn等分やn倍
コンセプト：平行線を使う

［作図］
まずものさしを使って辺の二等分を作図できるのがわかりました。
これを使って辺をどんどん二等分していきます。
2→4→8→16→32→…→2^m
nを超えたところで二等分をやめます。
辺CDをこのように分割した場合、点は両端を除いて全部で2^m-1個あります。

例として平行四辺形ABCDの辺ABをn等分したい場合を考えます。
辺CDを2^m等分している点のうち、点Cからn番目を点Xとし、これと点Aを結びます。
直線AXを延長して直線BCとの交点を点Yとします。
あとは点Cから点Xまで(n-1)個の点と、点Yとをそれぞれ結んで延長し、辺ABと交点を(n-1)個作ります。
これらはAB‖CDから辺ABをn等分していることが分かります。

同様に例として辺BCをn倍したい場合。
点Dから(n-1)番目を点X'とし、これと点Aを結びます。
直線AX'を延長して直線BCとの交点を点Y'とします。
AD‖BCから相似の関係を使ってCY'=(n-1)AD=(n-1)BCがわかります。
つまりBY'=nBCと辺BCのn倍をとれたことがわかります。
［終］

次に補題(3')とそれを用いて命題(3)です。

補題(3') 辺上及びその延長線上の任意の点を通り、辺に平行な直線を引く
コンセプト：平行四辺形をつくる

［作図］
直線BC上の任意の点を点Pとします。
点PがBやCと一致する場合は自明なので、点Pは二点BCとは異なるとします。
点Pと点Aを結ぶ。
辺ABや辺CDは二等分できるので、その中点同士を通る直線を引きます。
この直線は辺AD、辺BCと平行になります。
この直線と線分APとの交点を点Qとすると、点Qは平行線による相似の関係から線分APの中点になります。
直線ADと直線BQの交点を点Rとすると、点Qが線分BRの中点になる。
すると対角線BRとAPが中点で交わるので、四角形ABPRは平行四辺形となる。
すなわち点Pを通り、辺ABに平行な直線PRが引けたことになる。
［終］

命題(3')がわかったので、次に(3)を考えます。

命題(3) 任意の点を通る（線上以外も含め）辺に平行な直線を引く
コンセプト：この点が一つの辺上にある平行四辺形をつくる

［作図］
辺上であれば補題(3')のままなので辺上にない場合を考える。
任意の点を点Pとする。
点Pを通り直線BCに平行な直線を引く場合を考えます。
直線ABと直線辺BCに交点を持つように適当に点Pを通る直線を引く。
直線AB上の交点をX、直線BC上の交点をYとする。
補題(3')から、点Xを通り直線BCに平行、および点Yを通り直線ABに平行な直線を、それぞれ引ける。
この交点を点Zとする。
すると四角形XBYZが平行四辺形。
点Pは対角線XY上にある。

平行四辺形XBYZの辺XBの中点を点Qとし、直線YQと直線ZXとの交点を点Rとする。
こうすると、四角形RBYXも平行四辺形で点Pは直線XY上である。
ここでもう一度補題(3')を使用して、点Pを通り辺BYすなわち辺BCに平行な直線が引ける。

辺ABつまり、辺XBに平行な直線を引きたい場合は、四角形XBYZの辺BYの中点Q'をとって、同様に平行四辺形XBR'Yを作るとよい。
［終］