次に証明です。
作図した方はせっかくなので、横に作図した紙を置いて見ながらぜひご一緒に
証明方法は平行線による相似を五回と合同を一回使いました。
「チェバの定理と平行線の相似で解決！」からしたら、なんと複雑なことか(;o;)
［証明］
証明すべき事は四角形ABJKが長方形ということです。
ですが、角ABJが直角なので平行四辺形であることが証明できれば十分です。
しかも辺AKと辺BJはもとの正方形の辺を延長したもので平行なのも分かっています。
したがって、あとはAK=BJを言えればいいことになります。
AK=BJなら「向かい合う二辺が平行かつ長さが等しい」ことから平行四辺形であることが導かれます。
あとは正方形の一辺を長さ1とし、DP=tとして平行線による相似なんかをひたすら使いまくるわけです。
（検証は頭の中ではまず無理だと思いますので、ぜひ図を見ながら検証していただけたら幸いです 
設定から、分かっている長さは
DP=t
CP=1-t
AD=BC=1
BC‖HDを使って△PBC∽△PHDより
DH=BC*DP/CP
=t/(1-t)
DE=BEやDP‖BIなどから△DEP≡△BEIなのでBI=t
BI‖CPを使って△FBI∽△FCPより
FB:FC=BI:CP
でFB=xとするとFC=FB+BC=1+xゆえ
x:(1+x)=t:(1-t)
x(1-t)=t(1+x)
x(1-2t)=t
x=t/(1-2t)
つまりFB=t/(1-2t) （注：次のコメント）
DH‖FBを使って△GDH∽△GFBより
GD:GF=DH:FB
DK‖FJを使って△GDK∽△GFJより
DK:FJ=GD:GF
したがって
DK:FJ=DH:FB
なので
DK=FJ*DH/FB
一方でAD‖JCを使って△PAD∽△PJCより
CJ=AD*CP/DP
=1*(1-t)/t
=(1-t)/t
FJ=FB+BC+CJ
=t/(1-2t)+1+(1-t)/t
={t^2+t(1-2t)+(1-t)(1-2t)} / {t(1-2t)} （通分しただけ）
={t^2+(t-2*t^2)+(1-3t+2*t^2)} / {t(1-2t)}
=(t^2-2t+1)/{t(1-2t)}
=(1-t)^2/{t(1-2t)}
ゆえに
DK=FJ*DH/FB
=(1-t)^2/{t(1-2t)} * {t/(1-t)} / {t/(1-2t)}
=(1-t)/(1-2t) * {(1-2t)/t}
=(1-t)/t
=CJ
したがってAD=BC=1だから
AK=AD+DK=BC+CJ=BJ
これで向かい合う二辺AKとBJが等しい長さであることが言えました。
あとは上に書いた通りです。
「平行四辺形の対角線の交点はそれぞれ対角線を二等分する」
という性質も一応記述しといた方がいいのかな。
［終］
（ほへ〜
作図した方はせっかくなので、横に作図した紙を置いて見ながらぜひご一緒に
証明方法は平行線による相似を五回と合同を一回使いました。
「チェバの定理と平行線の相似で解決！」からしたら、なんと複雑なことか(;o;)
［証明］
証明すべき事は四角形ABJKが長方形ということです。
ですが、角ABJが直角なので平行四辺形であることが証明できれば十分です。
しかも辺AKと辺BJはもとの正方形の辺を延長したもので平行なのも分かっています。
したがって、あとはAK=BJを言えればいいことになります。
AK=BJなら「向かい合う二辺が平行かつ長さが等しい」ことから平行四辺形であることが導かれます。
あとは正方形の一辺を長さ1とし、DP=tとして平行線による相似なんかをひたすら使いまくるわけです。
（検証は頭の中ではまず無理だと思いますので、ぜひ図を見ながら検証していただけたら幸いです
設定から、分かっている長さは
DP=t
CP=1-t
AD=BC=1
BC‖HDを使って△PBC∽△PHDより
DH=BC*DP/CP
=t/(1-t)
DE=BEやDP‖BIなどから△DEP≡△BEIなのでBI=t
BI‖CPを使って△FBI∽△FCPより
FB:FC=BI:CP
でFB=xとするとFC=FB+BC=1+xゆえ
x:(1+x)=t:(1-t)
x(1-t)=t(1+x)
x(1-2t)=t
x=t/(1-2t)
つまりFB=t/(1-2t) （注：次のコメント）
DH‖FBを使って△GDH∽△GFBより
GD:GF=DH:FB
DK‖FJを使って△GDK∽△GFJより
DK:FJ=GD:GF
したがって
DK:FJ=DH:FB
なので
DK=FJ*DH/FB
一方でAD‖JCを使って△PAD∽△PJCより
CJ=AD*CP/DP
=1*(1-t)/t
=(1-t)/t
FJ=FB+BC+CJ
=t/(1-2t)+1+(1-t)/t
={t^2+t(1-2t)+(1-t)(1-2t)} / {t(1-2t)} （通分しただけ）
={t^2+(t-2*t^2)+(1-3t+2*t^2)} / {t(1-2t)}
=(t^2-2t+1)/{t(1-2t)}
=(1-t)^2/{t(1-2t)}
ゆえに
DK=FJ*DH/FB
=(1-t)^2/{t(1-2t)} * {t/(1-t)} / {t/(1-2t)}
=(1-t)/(1-2t) * {(1-2t)/t}
=(1-t)/t
=CJ
したがってAD=BC=1だから
AK=AD+DK=BC+CJ=BJ
これで向かい合う二辺AKとBJが等しい長さであることが言えました。
あとは上に書いた通りです。
「平行四辺形の対角線の交点はそれぞれ対角線を二等分する」
という性質も一応記述しといた方がいいのかな。
［終］
（ほへ〜